analisis de fourier para señales continuas

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Resumen—En este documento se presenta un método sencillo para la reconstrucción de una señal cuadrada y periódica a partir de un algoritmo que se basa en los coeficientes de Fourier, donde se implanto este algoritmo en el programa MATLAB.

Palabras Claves—Señales periódicas- Señal Cuadrada- Coeficientes de Fourier- Análisis – Reconstrucción- Algoritmo.
I. INTRODUCTION
En análisis deseñales es importante reconocer la series de Fourier como una herramienta fundamental para el estudio de las señales, en el documento presente se estudiara puntualmente los coeficientes de Fourier y con ello se partirá para desarrollar un algoritmo que permita desarrollar una señal cuadrada.

Las series de Fourier surgieron históricamente al resolver por el método de separación devariables, un problema de contorno de ecuaciones en derivadas parciales. Cuando estas fórmulas fueron propuestas por Daniel Bernouilli en 1.753, muchos matemáticos pensaron que era imposible expresar una función f(x) cualquiera como suma de senos y cosenos. Fue un ingeniero, Joseph Fourier, el que se encargó de recopilar datos para convencer al mundo científico de tal posibilidad1.

Una funciónperiódica f(t), tiene la propiedad de poderse descomponer en una gran cantidad de coeficientes llamados los coeficientes de Fourier, también si cumple los criterios de periodicidad y descretización se puede llegar a la siguiente ecuación:



Dado ello y la función delta de Dirac, se puede realizar un muestreo que permita desarrollar un muestreo de la señal lo cual va a caracterizar a la señal.Entonces la ecuación basado en el concepto de muestreo se llega a:


Donde n es un numero entero y determinara nuestra cantidad de muestras de la señal.


Ahora con la serie de Fourier y la formula de Euler se puede llegar a la siguiente ecuación:



Donde los términos son los coeficientes de Fourier, es la frecuencia angular.

Lo interesante de esta integral es quemaneja unos términos imaginarios y reales, es decir una variable compleja, lo que abre a muchos campos de análisis y de estudio a la señales a partir de los coeficientes de Fourier.




II. Materiales y métodos


A partir de la teoría se trabajó con un algoritmo que permitiera desarrollar la reconstrucción de una señal cuadrada en algún lenguaje de programación o en un programa quepermitiera mediante el uso de instrucciones específicas el uso del algoritmo planteado. En la siguiente figura se plantea en general el algoritmo en un diagrama de bloques.



Fig. 1 Encabezado del diagrama de bloques del algoritmo



Fig.2 Continuación de los diagramas de bloques del algoritmo desarrollado.

Al comienzo del algoritmo se puede observar detenidamente que se necesita de unasvariables iniciales para desarrollar el ejercicio, en el código de instrucciones de MATLAB estas variables se designan dentro el código, empero se puede desarrollar un programa que pueda pedirle a un usuario que ingrese estas variables.

Los dos ciclos del algoritmo ( localizados en la parte inferior de la figura 2) son la representación gráfica de la instrucción FOR ( en C o C++) que esusada en cuanto en matemática se refiere a una serie o sumatoria, en este caso esta sumatoria está dada por:



Donde x(t) será la señal reconstruida y en los distintos lenguajes de programación o programas especializados se podra realizar una gráfica que represente a esa señal, que en el caso puntual es una señal cuadrada.

III. Resultados
Por medio del algoritmo anteriormente mencionadohallamos los coeficientes Ak por medio de la ecuación de análisis para luego aplicarlos en la sumatoria de la ecuación de síntesis y de esa forma lograr reconstruir la señal (cuadrada para este caso).
En la siguiente grafica encontramos la magnitud de cada coeficiente Ak.

Fig.3 Magnitud de los coeficientes Ak

De esta misma manera en la figura 4 encontramos ahora la fase de estos mismos...