Analisis de funciones

An´lisis de Funciones de Variable Compleja a
Ing. Juan Sacerdoti

Facultad de Ingenier´ ıa Departamento de Matem´tica a Universidad de Buenos Aires 2005 V 1.011

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Agradecemos al Sr. Alejandro Quadrini por la transcripci´n de este documento. o

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´ Indice general
1. N´ meros Complejos u 1.1. Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . o 1.2. Igualdad de n´ meros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 1.3. Estructuraci´n de C como cuerpo abeliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.4. Imposibilidad de estructurar C como cuerpo ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Estructuraci´n de C como estructura vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . o 1.6. Estructuraci´n de C como estructura de espacio m´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e 1.6.1. Propiedades generales de la funci´n distancia en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.6.2. Notaci´n para la funci´n distancia sobre C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o 1.6.3. M´dulo de z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . o 1.7. Estructuraci´n de C como espacio normado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.8. Forma bin´mica de los complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.8.1. Isomorfismos entre estructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.2. Isomorfismo entre los reales y el conjunto de los complejos con segunda componentenula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.3. Forma bin´mica de los n´ meros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o u 1.9. Representaci´n geom´trica de los complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e 1.10. Forma Polar de un N´ mero Complejo. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 1.10.1.Forma Polar de un N´ mero Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 1.10.2. Igualdad en forma polar. Congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.3. Producto en forma polar. Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.4. Potencia en forma polar. Radicaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.10.5. Interpretaci´ngeom´trica de las operaciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . o e 1.11. Forma exponencial de un n´ mero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 1.11.1. Expresi´n de la forma exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.11.2. Definici´n de la funci´n ez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o 1.11.3. El producto,el cociente y la potencia de complejos en forma exponencial. . . . . . 1.12. Conjugado de un complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Elementos de Topolog´ en el Campo Complejo ıa 2.1. Definici´n de bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.2. Entorno de un punto c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Vecinal de un punto c . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 2.4. Clasificaci´n de puntos: Interiores, exteriores y frontera o 2.5. Adherencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Clasificaci´n de puntos de adherencia . . . . . . . . . . . o 2.7. Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados . . . . . . . . . 2.8. Conjunto acotado y conjunto compacto . . . . . . . . . 2.9. Infinito en el Campo Complejo . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 10 10 11 13 14 14 15 16 17 18 18 19 20 22 23 23 26...