Analisis De Funciones
Análisis
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Límites, continuidad y asíntotas
Cálculo de derivadas
Aplicaciones de las derivadas
Análisis de funciones
y representación de curvas
Integral indefinida
Integral definida
9
Límites, continuidad
y asíntotas
1. Límite de una función en un punto
■ Piensa y calcula
Completa mentalmente la tabla siguiente:
Solución:
x
1,91,99
1,999
8
2
8
2,001
2,01
2,1
f(x) = x + 1
2,9
2,99
2,999
8
3
8
3,001
3,01
3,1
● Aplica la teoría
1. Observando la gráfica, halla el límite en cada caso; si no
existe, justifícalo:
a) lím f(x)
2x – 2 – 5 = 3 x – 1 < 3
b) lím g(x)
x8 3
x8 3
Y
Siempre que 0 < x – 1 < 1 = e/3, se tiene
Y
f(x)
3. Completa las tablaspara estimar el límite en cada caso:
g(x)
x
X
X
0,9
x2
1,01
1
8
1,001
1
8
–1
a) lím – (x2 – 1)
b) lím+ (x2 – 1)
x8 1
x8 1
Solución:
x8 3
8
1
–0,19 –0,0199 –0,001999 8
0
x
b) lím g(x) no existe porque los límites laterales son
x8 3
distintos.
lím – g(x) = – 2; lím+ g(x) = 1
0,9
f(x) = x2 – 1
x
1,1
f(x) = x2– 1
0,21
0,99
0,999
1,001
8
1
0,0201 0,002
8
0
1,01
x8 3
x8 1
Solución:
Hay que demostrar que para todo e > 0, existe un d > 0
tal que
3x + 2 – 5 < e siempre que 0 < x – 1 < d
3x + 2 – 5 = 3x – 3 = 3(x – 1) = 3 x – 1
Para cualquier e > 0, se puede tomar d = e/3 y se cumple
la condición:
a) lím – (x2 – 1) = 0
x8 1
b) lím+ (x2 – 1) = 0
x8 1
4.Calcula mentalmente los siguientes límites:
2x
x+3
a) lím (x3 – 2x + 1)
b) lím
c) lím √ x2 + 4
d) lím 5x – 2
e) lím L (4x + 2)
f) lím sen (2x + π)
x8 2
x8 0
x8 1
x8 3
x8 2
x 8 π/2
SOLUCIONARIO
© Grupo Editorial Bruño, S.L.
2. Demuestra que el lím (3x + 2) = 5
262
8
0,999
8
1,1
f(x) =
Solución:
a) lím f(x) = 4
0,99
f(x) = x2 – 1
xx8 3
e
=e
3
Solución:
a) lím (x3 – 2x + 1) = 8 – 4 + 1 = 5
d) lím 5x – 2 = 50 = 1
x8 2
x8 2
2x
6
b) lím
=
=1
6
x8 3 x + 3
c) lím
x8 0
√ x2
e) lím L (4x + 2) = L 6
x8 1
+ 4 = √4 = 2
lím sen (2x + π) = sen 2π = 0
f)
x 8 π/2
2. Límite de una función en el infinito
■ Piensa y calcula
Completa mentalmente la siguiente tabla:
Solución:
– @ 6 – 1000 – 100
x
f(x) = 1/x
0
– 0,001 –0,01
– 10
–1
1
10
100
1 000 8 + @
–0,1
–1
1
0,1
0,01
0,001
0
● Aplica la teoría
5. Usa la gráfica para estimar el límite en cada caso; y si no
e) lím
()
x8 +@
a) lím f(x), lím f(x) siendo f(x) =
x8 –@
log x
x2
g) lím
existe, justifícalo:
x8 +@
x+1
x–1
x8 +@
b) lím g(x), límg(x) siendo g(x) = sen x
x8 –@
f)
x2
2–5
x
x
lím
x8 –@
√ x2 + 1
x
h) lím
ex – 5
L (x + 5)
j)
(√ x2 + x – 3x)
x8 +@
x8 +@
Y
Y
x+1
f(x) = –––––
x–1
i)
lím x2 · 2– x
x8 +@
lím
x8 –@
g(x) = sen x
X
X
Solución:
a) @ + @ = + @
b) [@ – @] = lím x2 = + @
x8 +@
(
x8 +@
b) lím g(x) no existe porque la función sen x estáosx8 –@
cilando continuamente entre –1 y 1
No se acerca a ningún valor cuando la x tiende a – @
lím g(x) no existe porque la función sen x está osci-
lando continuamente entre – 1 y 1
No se acerca a ningún valor cuando la x tiende a + @
[]
[]
h)
c) lím
x8 +@
2– x
b) lím (x2 – 3x)
x8 +@
d) lím
x8 +@
x– 5
TEMA 9. LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS
(
)
[]@
= +@
@
(Observa que:
i)
o una indeterminación:
x8 +@
)
–@
Indeterminado.
@
g) [1∞ ] Indeterminado.
f)
6. Indica si los siguientes límites son infinitos, un número
a) lím (x2 + 3x)
x8 +@
1
=0
@
d) @–5 = 0
@
e)
= 0 Observa que: lím log x < lím x2
@
x8 +@
x8 +@
x8 +@
© Grupo Editorial Bruño, S.L.
x8 +@
c)
Solución:
a) lím f(x) = 1,...
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