Analisis de la varianza

ANALISIS DE LA VARIANZA (ANOVA) Y DISEÑO DE EXPERIMENTOS
El análisis de la varianza es un procedimiento estadístico que nos permite dividir la variabilidad observada en componentes independientes que pueden atribuirse a diferentes causas de interés.
En el planteamiento más simple de análisis de la varianza tenemos una variable numérica cuantitativa (resultado), y queremos determinar en quémedida se puede atribuir la variabilidad de ésta a otra variable cualitativa nominal que vamos a denominar factor. Estamos hablando por tanto de análisis de la varianza para un solo factor, que puede tener 2 o más categorías o niveles.
Este factor, cuyo posible efecto sobre la variable medida queremos analizar, puede tener unos niveles fijos, por ejemplo el nivel educativo alcanzado por los sujetosque intervienen (sin estudios, estudios primarios, secundarios, formación universitaria), y hablamos entonces de modelo de efectos fijos; o bien puede tratarse de una muestra procedente de un conjunto de niveles más amplio, como puede ser por ejemplo el caso de un estudio en el que se seleccionan varios hospitales y se analiza las posibles diferencias entre hospitales. Entonces lodenominamos modelo de efectos aleatorios. En el análisis de la varianza de 1 factor es mucho más frecuente el modelo de efectos fijos.
Vamos a plantear el problema y comentar los cálculos que se efectúan en un análisis de la varianza para un factor. Estudiamos K grupos clasificados de acuerdo a los niveles 1,2 .. K del factor. En cada nivel tenemos n1, n2, ... nk observaciones independientes y obtenidas de formaaleatoria. Si designamos de forma general cada observación como yij, el subíndice i indica el grupo al que pertenece, j es el número de la observación dentro de ese grupo, de tal manera que por ejemplo y25 corresponderá al valor observado en el quinto sujeto del segundo grupo. Por tanto en el grupo 2 tenemos las observaciones y21 hasta y2n2.
Si juntamos todas las observaciones N=n1+n2+...+nk,calculamos la media global que vamos a denominar .
También podemos calcular la media dentro de cada uno de los K grupos. La media para el grupo i la designamos como.
Es obvio que la diferencia entre cada observación y la media global se puede descomponer de la siguiente forma:
| [1] |
Es decir que la diferencia entre el valor observado y la media global es igual a la suma de la diferencia de laobservación con la media de su grupo y la diferencia de la media del grupo con la media global.
Se puede comprobar que si cada término de esa expresión se eleva al cuadrado y se suma para todas las observaciones, se mantiene la igualdad, lo que curiosamente no es más que la aplicación del famoso teorema de Pitágoras a este diseño:

Cada uno de los términos es pues una suma de desviacionescuadráticas, que denominaremos de forma abreviada como suma de cuadrados (SC). La primera SC del lado de la derecha corresponde a las desviaciones de cada observación respecto de la media de su propio grupo, por lo que se la conoce como "dentro del grupo" o "intra grupo" (en inglés within). El segundo sumando de la derecha corresponde a las desviaciones de la media de cada grupo respecto de la mediaglobal, por lo que cuantifica las diferencias medias entre los grupos, y se conoce como suma de cuadrados "entre grupos" (en inglés between):
SCTotal=SCIntra grupo+SCEntre grupos
El cuadrado medio intra-grupo, equivalente a una varianza, lo calculamos dividiendo la suma de cuadrados entre los grados de libertad

y se puede comprobar que es en realidad una media ponderada de las varianzasmuestrales de cada grupo, con la siguiente expresión:

Queda claro que constituye por tanto una estimación de la varianza común.
De igual manera podemos calcular el cuadrado medio entre grupos:

Si la media de todos los grupos es la misma, MSE también es una estimación de la varianza común. Esto se puede entender mejor de una forma intuitiva si consideramos el caso particular en el que todos los...