analisis de la varianza

ANALISIS DE LA VARIANZA
DISEÑO DE UNA VIA
Disponemos de r poblaciones, generalmente correspondientes a r tratamientos experimentales. Cada uno de los tratamientos Ti, (i=1, …, r) se supone que tiene distribución normal con media i y varianza 2, común a todos ellos, es decir se trata de poblaciones normales y homoscedásticas. De cada una de las poblaciones (o tratamientos), tomamos unamuestra de tamaño ni.
Las observaciones obtenidas se pueden recoger en una tabla de la forma

es decir xij es la observación j del grupo experimental i.
Llamaos  a las medias muestrales de los grupos y  a la media de todas las observaciones.
Cuando se trata de un experimento diseñado, es decir, cuando se trata de la aplicación de r tratamientos a un conjunto de unidades experimentales, estas debenseleccionarse para que sean homogéneas, de forma que no se introduzcan factores de variación distintos del que se desea controlar. La asignación de los tratamientos a cada una de las unidades debe hacerse al azar. Es lo que se conoce como diseño “completamente al azar”.
El modelo matemático subyacente a este tipo de diseño es

donde  es la cantidad que depende del tratamiento usado(descompuesta en una media global y un efecto del tratamiento) y  es la cantidad que depende solamente de la unidad experimental y que se identifica con el error experimental.
La hipótesis de que los distintos tratamientos no producen ningún efecto (o la de que las medias de todas las poblaciones son iguales) se contrasta mediante el análisis de la varianza de una vía, comparando la variabilidad entre gruposcon la variabilidad dentro de los grupos.

El análisis de la varianza se basa en la descomposición de la variabilidad total en dos partes, una parte debida a la variabilidad entre las distintas poblaciones o tratamientos (variabilidad entre grupos o variabilidad explicada por el diseño) y otra parte que puede considerarse como la variabilidad intrínseca de las observaciones (variabilidad dentrode los grupos o residual).

La variabilidad entre grupos

mide la discrepancia entre los grupos y la media global, de forma que si no hay diferencias entre ellos (la hipótesis nula es cierta) obtendremos variabilidades pequeñas. Si, por el contrario, la hipótesis nula es falsa, cabe esperar que la variabilidad entre grupos sea grande.
La variabilidad dentro de los grupos

mide lavariabilidad intrínseca de las observaciones, es decir, si el experimento está bien diseñado y no se incluyen factores de variación distintos al estudiado, debe ser error puramente aleatorio producido como resultado de la variabilidad biológica del material experimental.
El contraste del Análisis de la varianza se basa en la comparación de la variabilidad entre y la variabilidad dentro, rechazaremos lahipótesis nula siempre que la variabilidad “entre” sea grande, pero utilizando como patrón de comparación la variabilidad “dentro”. Es decir, aceptaremos un efecto de los tratamientos siempre que estos produzcan mayores diferencias en las unidades experimentales que las que habría sin la aplicación de los mismos.
Antes de proceder a la comparación hemos de dividir las sumas de cuadrados por suscorrespondientes grados de libertad, relacionados con el número de observaciones con las que se realiza el cálculo.
De esta forma obtenemos los cuadrados medios o estimadores de las variabilidades.
La información completa se resume en la tabla siguiente. Es la que se conoce como tabla de ANOVA y resume toda la información necesaria para realizar el correspondiente contraste.
Fuente
Suma decuadrados
g.l.
Estimador
Fexp
Entre

r-1


Residual

n-r

 
Total

n-1
 
 
El cociente entre la variabilidad “entre” y la variabilidad “dentro”, una vez que se han hecho comparables, sigue una distribución F de Snedecor con r-1 y n-r grados de libertad. La distribución nos sirve para buscar el valor a partir del cual el cociente es lo suficientemente grande como para declarar las...