Analisis de regresion y correlacion

Estadística: Capitulo VII: Análisis de regresión

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CAPITULO VII ANALISIS DE REGRESIÓN 7.1. Introducción El objetivo de muchas investigaciones científicas es el comprender y explicar las relaciones entre variables. Frecuentemente, se requiere conocer como y en que medida una variable de respuesta se relaciona con un grupo de variables. El análisis de regresión es una técnica estadísticapara el modelamiento y la investigación de la relación entre dos o más variables. Por ejemplo, en un proceso químico, supóngase que el rendimiento del proceso esta relacionado con la temperatura de operación; o las siguientes cuestiones: ¿cuál es la cantidad de fertilizante aplicado, relacionado con la producción del cultivo?; ¿qué relación existe entre la cantidad de alimento consumido y el aumentode peso en los animales?; ¿cuál es el precio de una mercancía afectada por la oferta?; etc. El análisis de regresión puede usarse para construir un modelo matemático que permita predecir la relación entre las variables de interés. El modelo que se obtenga también puede usarse para la optimización del proceso, tal como hallar la temperatura que maximiza el rendimiento, o para fines de control. Enmuchos problemas de esta clase, las observaciones de la “variable independiente” se hacen si error que es insignificante al compararlo con el error (variación aleatoria) de la “variable dependiente”. Por ejemplo, al medir la cantidad de óxido en la superficie de un metal, la temperatura de calentamiento se puede controlar (variable independiente) con buena precisión; pero, la medida del espesor deóxido (variable dependiente) se encontrará sujeta a considerables variaciones aleatorias. Así, aunque la variable independiente se pueda fijar en un valor ‘x’, las medidas repetidas de la variable dependiente nos darán valores que difieren considerablemente. Las diferencias entre los valores de ‘y’ se pueden atribuir a diversas causas, principalmente a errores de medida y a la existencia de otrasvariables “incontrolables” que pueden influir en el valor de ‘y` cuando ´x’ permanece fija. Luego, las medidas del espesor de óxido variarán para diferentes piezas calentadas durante el mismo tiempo a la misma temperatura, debido a la dificultad de medir los espesores, como a las posibles diferencias en la composición de la atmósfera del horno, a las condiciones de la superficie de la pieza, etc.De esta discusión, debe entenderse que ‘y’ es el valor de una variable aleatoria cuya distribución depende de `x`. En la mayoría de situaciones de este tipo, nos interesa principalmente la relación entre ´x´y la media de la distribución correspondiente de `y`. Nos referimos a esta relación llamándola “curva de regresión”. 7.2. Diagramas de dispersión. El primer paso a realizar en el estudio de larelación entre dos variables es el diagrama de dispersión que consiste en representar los pares de valores (Xi, Yi ) como puntos en un sistema de ejes cartesianos. Debido a la variación del muestreo, los puntos estarán dispersos. Si los puntos muestran una tendencia lineal positiva o negativa, se puede ajustar una linea recta, que servirá, entre otras cosas, para predecir valores de ‘Y’correspondientes a valores de ‘X’. En las figuras 7.1 se representan algunos diagramas de dispersión típicos:

(a)

(b)

(c)

(d)

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(e)

(f)

(g)

Fig. 7.1: Diagramas de dispersión que muestran (a) relación lineal positiva; (b) relación lineal negativa; (c) relación parabólica; (d) relación exponencial; (e) y (f) relacionespotenciales; y (g) ninguna relación. 7.3. Regresión lineal simple. Después de que se ha determinado el modelo matemático a utilizar y se conoce que es lineal, se procede a ajustar una recta llamada Recta de Regresión o Recta de Ajuste. La elaboración de la Recta de regresión toma en consideración los siguientes supuestos: 1. Los valores de la variable independiente ‘X’ son fijos; a ‘X’ se le llama...