Analisis de señales discretas

Análisis de Fourier de las señales de tiempo discreto
Como en el caso de la transformada de una señal de tiempo continuo, la DTFT es una señal de tiempo discreto es una función continua de frecuencias, pero a diferencia del caso de tiempo continuo, la DTFT siempre es una función periódica con periodo 2π.
Definimos la transformada de una señal de tiempo discreto, la cual es función de un númerofinito de frecuencias. Esta transformada se conoce como transformada discreta de Fourier (DTF). Para las señales de tiempo discreto limitadas en el tiempo, demostrando que la DTF es igual a la DTFT, con la variable frecuencia evaluada en un número finito de puntos. Por lo tanto, la DTF puede considerarse como una “desratización en frecuencia” de la DTFT. Debido a quela DTF es una función de unnúmero finito de frecuencias, es la transformada la que generalmente utiliza esta práctica. En particular, la DTF e usa bastante en el procesamiento de señales digitales y en comunicaciones digitales.
Estudiamos las DTF de señales truncadas (que corresponden a un conjunto dado de valores de datos) y proporcionamos un método rápido para calcular la DTF, conocido como algoritmo de la transformadarápida de Fourier (FFT) Mostramos como utilizar el algoritmo FFT para calcular la trasformada de Fourier de una señal de tiempo continuo, y para calcular la convolucion de dos señales de tiempo discreto.
TRANSFORMADA DE FOURIER DE TIEMPO DISCRETO
En temas anteriores ya hemos definido la transformada de Fourier X (ω) de una señal de tiempo continuo como
Xϖ=-∞∞x(t)e-wtdt (1.1)
Dadauna señal de tiempo discreto x[n], la transformada de Fourier de tiempo discreto DTFT de x[n] se define como

XΩ=n=→∞∞x[n]e-jΩm (1.2)
La DTFT X (Ώ) definida por (1.2) es en general una función valuada en complejos de la variable real Ώ (la variable frecuencia). Podemos ver que la formula (1.2) es una contraparte natural de tiempodiscreto de (1.1) donde la integral reemplaza por una sumatoria. La omega mayúscula se utiliza para que la variable frecuencia distinga entre los casos de tiempo continuo y de tiempo discreto.
Se dice que una señal de tiempo discreto x[n] tiene una DTFT en el sentido ordinario, si la suma bi-infinita (1.2) converge (es decir, si es finita) todos los valores reales de Ώ. Una condición para x[n] tengaDTFT es:
n→-∞∞x[n]<∞ (1.3)
Si x[n] es una señal de tiempo discreto limitada en el tiempo (es decir, existe un entero positivo N, tal que x[n]=0 para toda n≤ -N y n≥N), entonces obviamente la suma (1.3) es finita, y por lo tanto cualquier señal como esta tiene DTFT en el sentido ordinario-
Ejemplo Cálculo de la DTFT
Considere la señal de tiempo discreto x[n] definida porx[n]0 n<0an 0≤n≤q0, n>q

Donde a es un numero real constante diferente de cero, y q es un entero positivo, Esta señal es claramente limitada en el tiempo, y por lo tanto tiene una DTFT en el sentido ordinario. Para calcular la DTFT, sustituya x[n] en (1.2), lo cual arroja
XΏ=n=0qane-jΩn

=n=0qae-jΩ∧n (1.4)

Esta sumatoria puede describirse enforma “cerrada” mediante la relación

n=q1q2rn=rq1-rq2+11-r (1.5)
Donde q1 y q2son enteros con q2 y r es un número real complejo. Después utilizando (4.5) con q1=0, q2=q y r=ae-jΩ podemos escribir (1.4) de la forma

XΩ=1-(ae-jw)q+11-(ae-jΩ) (4.6)
Para cualquier señal de tiempo discreto x[n], la DTFT X (Ω) es una función periódica de Ω, con periodos de 2π, es decir
xΩ+2π=XΩparatoda Ω, -∞ <Ω<∞
Para demostrar la propiedad de periodicidad, observe que
XΩ+2π=n=-∞∞xne-jn(Ω+2π)

=n=-∞∞xne-jne-jn2π
Pero
XΩ+2π=XΩpara toda Ω
Una consecuencia importante de la periodicidad X (Ω) sobre cualquier intervalo 2π, tal como 0 ≤ Ω ≤ 2π, 0 -π ≤ Ω ≤ π.
Dada la señal de tiempo discreto x[n] con DTFT X (Ω) en general es evaluada en complejos, X (Ω) puede expresarse en forma...