Analisis de sistemas de control

ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE
CONTROL DIGITAL

E. J. Taconi – R. J. Mantz
J. A. Solsona – R. Ojeda

Laboratorio de Electrónica Industrial Control e Instrumentación (LEICI)
Departamento de Electrotecnia – Facultad de Ingeniería – UNLP

CAPÍTULO UNO.
NOCIONES SOBRE MUESTREO Y RECONSTRUCCIÓN DE
SEÑALES.

I.1. INTRODUCCIÓN.
La figura 1.1 representa un clásico esquema de controldigital. La señal a controlar, y(t),
es muestreada a través de un convertidor analógico digital A/D y comparada con el valor de referencia (o set-point) r(nT) almacenado en una posición de memoria del sistema de microcómputo en el cual se implementa el controlador digital. La información que resulta de esta comparación (señal de error discreta), es procesada por el microcomputador, que mediante unalgoritmo recursivo, genera una señal de mando discreta u(nT) que es convertida en analógica a
través de un convertidor D/A. Esta secuencia de operaciones es realizada cada T segundos, siendo T el período de muestreo.

Perturbación
p(t).

Sistema de microcómputo.
Actuador de
potencia.
r(nT)
+ +

e(nT)

D

u(nT)

u(t)

D/A

ACT.

Proceso
G(s)

+

y(t)

y(nT)
A/DFigura 1.1. Esquema básico de control digital.
En el esquema de la figura pueden distinguirse dos tipos de señales:
-

Señales continuas o analógicas. Son aquellas definidas para todo instante de tiempo (u(t),
y(t), p(t)).

-

Señales de tiempo discreto. Son aquellas únicamente definidas en los instantes de tiempo
t = nT, siendo n un número entero y T el período de muestreo (r(nT), e(nT),u(nT)).

A los efectos de simplificar determinadas expresiones, la siguiente notación también será empleada para las señales discretas:

f nT = f (nT ) .

(1-1)

Desde el punto de vista del análisis y diseño de sistemas de control muestreados, el esquema de la figura 1.1 no difiere del clásico esquema de texto de la figura 1.2.

1

p(t)
r

+

e(t)

e(nT)

u(nT)

D

D/Au(t)

+

Proceso
G(s)

y(t)

-

Figura 1.2. Esquema simplificado de control digital.
Si se pretende analizar el comportamiento del sistema de la figura 1.2 (o 1.1), utilizando
las herramientas matemáticas que se emplean en sistemas analógicos, se choca con el primer inconveniente: no existe la transformada de Laplace de una señal que sólo está definida en algunos puntos, y porconsiguiente no todos los bloques de la figura 1.2 pueden ser modelados con
funciones de transferencia.
Para obviar el inconveniente citado en el último párrafo, se planteará un modelo del
conjunto convertidor A/D - controlador digital - convertidor D/A, que visto desde sus extremos presente el mismo comportamiento que este conjunto y además que las señales en su interior, aunque distintas a lasreales, permitan el empleo de nuestros conocimientos referidos a sistemas continuos.

I.2. MODELO DEL MUESTREADOR (CONVERSOR A/D) Y RECONSTRUCTOR
DE SEÑAL (CONVERSOR D/A).
La figura 1.3 a) muestra el conjunto A/D – D/A a modelar. En las partes b) y c) de la
figura 1.3 se indican las señales f(t), f(nT) y y(t) que correspondientes a la parte a).
a)
f(t)

D/A

F(s)

b)

y(t)

f(nT)
A/DY(s)

f (t)
f (nT)

t
T

2T

(n-1)T

2

nT

y(t)

c)

f (t)

t
(n-1)T nT

2T

T

Figura 1.3. a)Conjunto a modelar.
b)Señal continua f(t), y discreta f(nT).
c)Señal continua f(t) y reconstruida y(t).
La señal reconstruida y(t) puede ser expresada a partir de una sumatoria de escalones
desplazados en el tiempo

y (t ) =

∞

∑ f (nT ) [µ (t − nT ) − µ (t −(n + 1)T )] ,

(1-2)

n = −∞

donde:

 1 si t ≥ nT
µ (t − nT ) = 
0 si t < nT

.

(1-3)

Luego, la transformada de Laplace de la señal reconstruida y(t), resulta:

Y ( s) =

∞

∑

n = −∞

f ( nT )

e − nTs − e − nTs−Ts
s

(1-4)

operando:

 ∞
 1 − e −Ts 
Y ( s ) =  ∑ f ( nT ) e −nTs  
.
 n = −∞
 s 

(1-5)

El primer factor de la ecuación...