analisis de variable real

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA
UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
Analisis de Variable Real. Curso 13–14.
C´lculo diferencial: optimizaci´n y representaci´n gr´fica. Hoja 7
a
o
o
a
148 Resuelve estos problemas de optimizaci´n:
o
1. Dividir un n´mero positivo en dos sumandos de tal forma que su producto sea lo mayor posible.
u
2. Torcer un trozo de alambre de longitud L de maneraque forme un rectangulo cuya ´rea sea la
a
mayor posible.
3. ¿Cu´l de los triangulos rect´ngulos de per´
a
a
ımetro dado igual a P tiene mayor ´rea?
a
4. Con L metros de malla met´lica hay que hace un vallado rectangular usando como cuarto lado
a
una pared. ¿Qu´ forma ha de tener para que quepan mas ovejas?
e
5. Con un carton cuadrado de lado L hay que hacer una caja de base rectangulary abierta (sin
tapa) quitando para ello cuadrados en las esquinas y doblando los salientes de la figura de cruz
obtenida. ¿C´mo conseguir la caja de mayor volumen?
o
6. Hay que hacer un dep´sito de lata de base cuadrada, sin tapa y en el que quepan V litros de
o
l´
ıquido. ¿C´mo hacerlo con la menor cantidad de lata?.
o
7. ¿Cu´l de los cilindros de volumen dado tienen menor superficietotal?
a
8. Inscribir en una esfera dada un cilindro de volumen m´ximo.
a
9. Inscribir en una esfera dada un cilindro que tenga la mayor superficie lateral posible.
10. Inscribir en una esfera dada un cono de volumen m´ximo
a
11. Inscribir en una esfera dada un cono circular recto que tenga la mayor superficie lateral posible.
12. Circunscribir en torno a un cilindro dado un cono recto que tengael menor volumen posible (los
planos y centros de sus bases circulares coinciden).
13. De una hoja circular hay que cortar un sector tal que enrollado nos de un embudo con la mayor
capacidad posible.
14. Un recipiente abierto esta formado por un cilindro terminado en su parte inferior por una semiesfera. ¿Cu´les han de ser las dimensiones para que sin variar la capacidad se emplee la menor
acantidad de material?
15. Por un punto en I 2 de coordenadas positivas pasa una recta que corta a los dos semiejes posiR
tivos. Encontar la recta para que el ´rea sea m´
a
ınima y determinar dicha area.
´
16. Inscribir en una elipse un rectangulo de lados paralelos a los ejes de la elipse y cuya ´rea sea
a
m´xima.
a
17. Inscribir un rect´ngulo de mayor ´rea posible entre la par´bola y =2px2 y la recta x = 2a.
a
a
a
1
18. Hallar el punto de la gr´fica de y = 1+x2 en el que la tangente a la gr´fica forme con el eje
a
a
horizontal el ´ngulo con mayor valor absoluto posible.
a

19. Una persona tiene que ir de un punto A en la orilla de un rio de anchura constante, h, y recto,
a un punto B en la otra. Sabiendo que la velocidad con la que se mueve por la orilla es k vecesla velocidad con la que nada (en linea recta) determinar el ´ngulo con el que debe cruzar el rio
a
para llegar lo antes posible.

20. En los puntos A y B hay dos focos luminosos de intensidades p y q. Hallar el punto menos
iluminado del segmento AB, usando que la iluminacion en un punto es inversamente proporcional
al cuadrado de la distancia al foco luminoso.
21. Una l´mpara esta colgadasobre el centro de una mesa circular de radio r. ¿A qu´ altura debe
a
e
estar la lampara para que la iluminaci´n en el borde sea lo mejor posible? (la iluminacion es
o
proporcional al coseno del ´ngulo de incidencia e inversamente proporcional al cuadrado de la
a
distancia al foco de luz).
22. En un momento dado un barco B se encuentra a 65 millas n´uticas de otro A. B empieza a
amoverse en direccion oeste a 10 millas por hora y A lo hace hacia el sur con velocidad 15 millas
por hora. Si ambos mantienen rumbo y velocidad encuentra el tiempo en que la distancia sea
m´
ınima y hallar dicha distancia.
23. Se quiere construir un recipiente cil´
ındrico de base circular y de 64 cm3 de volumen. Hallar las
dimensiones para que se use una cantidad m´
ınima de material en los...