Analisis De Viga

Tarea n° 1 Modelamiento de vibraciones
transversales en viga en voladizo
Taller de Integración I
Ingeniería en Mecatrónica, Universidad de Talca, Chile 2011.
Mauricio Flores, Henry Varas
mauricio_fs@alumnos.utalca.cl, hvaras@alumnos.utalca.cl

Resumen. En el siguiente informe se modelara
un sistema mecánico, como lo es el
comportamiento de una barra metálica
empotrada en uno de susextremos y el otro
está completamente libre. Se ejerce una fuerza
para el estudio de la vibraciones transversales
generadas y es compara con el análisis
matemático
del
modelamiento
del
comportamiento físico del sistema.
I.

INTRODUCCIÓN

El taller de integración I, tiene como objetivo que
el alumno pueda modelar sistemas físicos,
eléctricos y mecánicos; con las herramientas
adquiridashasta el sexto semestre. Como parte del
plan de trabajo del presente semestre; es que se
inicio el modulo con el análisis de una barra en
voladizo.
Una barra en voladizo, se caracteriza por estar
apoyada en un en solo un extremo mediante un
empotramiento. Al realizar un análisis dinámico
del sistema, en el otro extremo al ejercer una
fuerza y soltar la barra, se genera una vibraciónnatural que se adecua al comportamiento descrito
matemáticamente a través de la ecuación de la
onda; la cual tiene como restricciones las
condiciones iniciales como de borde para su
implementación.

II.

VIBRACIONES TRASVERSALES EN UNA
BARRA EMPOTRADA CON UN EXTREMO
LIBRE.

La ecuación diferencial de movimiento puede
deducirse de la curva de deflexión de vigas, que es
analizada en el ramode Mecánica de Materiales
para la Mecatrónica, la cual es la siguiente:
(1)
Donde EI se conoce como la rigidez a la flexión
de la viga, M es el momento de flexión en una
sección transversal cualquiera e y es la deflexión
de la viga. Suponiendo que EI es constante y
derivando la ecuación (1) dos veces, se obtiene la
siguiente relación según la ecuación (2) y (3).
(2)

(3)
Donde Q es lafuerza cortante y w la intensidad de
carga que actúan en la viga.

Figura 2. Segmento infinitesimal de la barra
sometida a pandeo. M(x) representa el momento
flector como Q(x) la fuerza de Corte.
Figura 1. Barra rectangular de longitud L0.

En las vibraciones transversales libres de vigas
que no tienen carga externa, es necesario
considerar las fuerzas de inercia, -(γA/g)∂2y/∂x2,
comola intensidad de carga a lo largo de toda la
longitud de la viga [1]. Así, la ecuación (3) queda
de la forma:

La solución para la ecuación (9) es bien conocida:
(10)
Y la solución de la ecuación (8) es de la forma
X=eλx, donde λ=k, -k, ik, -ik y k4=p2/α2, la
solución general puede escribirse de la forma:

(4)
En la cual se emplean derivadas parciales debido a
que y es una función dex y de t, como α2=EIg/Aγ,
la ecuación (4) se convierte en:



Condiciones Iniciales

(5)
Esta es la ecuación diferencial de movimiento
trasversal de vigas de sección transversal
constante, donde se ha tenido en cuenta la rigidez
y la inercia transversal de la viga.
Para determinar los modos normales de la
vibración transversal, se realiza el siguiente
proceso.
Suponiendo que lasolución para la ecuación (5),
es de la forma y=X(x)T(t). Remplazando esta
expresión en la ecuación de movimiento, se
obtiene:

Figura 3. Barra de longitud L, empotrada por una
prensa y con el otro extremo libre, sin sobrecarga
y vibrando.
El desplazamiento y la inclinación son iguales a
cero en el extremo empotrado, mientras que en el
extremo libre la fuerza de inercia es igual a lafuerza de corte; donde las condiciones de borde
son las siguientes:

(6)
Donde XIV=d4/dx4. Esto también puede escribirse
como:
(7)
Como el miembro de la izquierda es función
únicamente de x y el de la derecha es función
únicamente de t, cada miembro debe ser igual a
una constante. Sea esta constante p2/α2. De esta
forma se obtienen dos ecuaciones diferenciales
ordinarias:
(8)
Y
(9)...