Analisis dimencional

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An´lisis dimensional a

El an´lisis dimensional es una herramienta conceptual muy utilizada en la a f´ ısica, la qu´ ımica y la ingenier´ para ganar comprensi´n de fen´menos que ıa o o involucran una combinaci´n de diferentes cantidades f´ o ısicas. Es adem´s, a rutinariamente utilizada para verificar relaciones y c´lculos, as´ como para a ı construir hip´tesis razonables sobre situacionescomplejas, que puedan ser o verificadas experimentalmente. Uno de dichos usos est´ basado en el requerimiento de consistencia dimena sional. Este requerimiento est´ relacionado con la 2da Ley de Newton: cuando a se describen magnitudes mec´nicas, el conjunto de magnitudes que se utilice a puede ser arbitrario; sin embargo existen dos tipos de sistemas de magnitudes, los consistentes y los noconsistentes. Se dir´ que un sistema de magnitudes a es consistente si las magnitudes que lo define verifican la siguiente propiedad: [F ] = [M][A] donde los corchetes indican la magnitud. Para que un sistema pueda ser utilizado en la mec´nica, este debe ser consistente. a Los conceptos de unidad y magnitud est´n relacionados pero no son lo mismo: a en efecto, en la observaci´n de fen´menos, cada cantidadf´ o o ısica Rj , tendr´ a asociada unidades {Rj } –que indicaremos entre llaves– que representan cantidades de referencia de una magnitud, aceptadas por convenci´n. As´ un o ı kilogramo (kg) corresponde a una cantidad de masa est´ndar y patr´n o una a o pulgada (in) corresponde con una longitud patr´n que puede representarse o por 2, 54 cent´ ımetros (cm), otra unidad patr´n en otro sistema deunidades. o As´ una cantidad f´ ı ısica se representa, en un sistema de unidades como Rj = v(Rj ){Rj }, donde v(Rj ) es un n´ mero real que representa el valor de dicha cantidad u expresada en unidades {Rj }. Si se desea utilizar otro sistema de unidades, −1 ˆ debe disponerse de una relaci´n del tipo Rj = xj Rj que permita el cambio o entre dichos sistemas. As´ la misma cantidad f´ ı ısicaresultar´ a ˆ ˆ Rj = v(Rj )xj {Rj } = v (Rj ){Rj }, ˆ
v (Rj ) ˆ

donde el factor xj es el denominado factor de conversi´n. o Los sistemas de magnitudes se representan por s´ ımbolos. Por ejemplo, [MLTΘ] representan respectivamente masa, longitud, tiempo y temperatura. As´ ı, 1

siguiendo el ejemplo, la velocidad tiene asociada la magnitud [V]; sin embargo, considerando el sistema [M,L,T,Θ] es posibleescribir que [V]=[L]/[T], resultando que hay algunas magnitudes derivadas de otras, mediante una combinaci´n de aquellos s´ o ımbolos elevados a alguna potencia. Definici´n 1 Sistema de magnitudes fundamentales o Se llama sistema de magnitudes fundamentales [F1 , · · · , Fm ] al conjunto de menor cantidad de elementos que permite derivar todas las magntudes involucradas en un fen´menos. o Elsistema [M,L,T,Θ] es un sistema fundamental de magnitudes para la mec´nica. En este sistema, la fuerza tiene una magnitud derivada [M][L]/[T]2 . a Sin embargo, en virtud de la ley de Newton, ser´ posible definir un sistema ıa [F,L,T,Θ] de magnitudes fundamentales, en el cu´l la masa tendr´ una maga ıa 2 nitud derivada [F][T] /[L]. As´ los sistemas de magnitudes fundamentales ı, son arbitrarios, pesandosobre ellos el unico requerimiento de consistencia ´ dimensional. Propiedad 1 Las magnitudes que forman un sistema fundamental son independientes:
m

Fixi = 1 ⇒ xi = 0,
i=1

para i = 1, 2, · · · , m.

El conjunto de los s´ ımbolos que definen un sistemas de magnitudes forman un grupo: en efecto, existe un elemento identidad, indicado por [1] y todo s´ ımbolo –por ejemplo L– tiene su inverso–en este caso, L−1 . Adem´s, todo a s´ ımbolo elevado a una potencia es miembro del grupo, con inverso Definici´n 2 o Sea un sistema de n magnitudes, representadas por su correspondiente s´ ımbolo [Mj ], los que se pueden representar por un sistema de m magnitudes fundamentales [F1 , · · · , Fm ], m < n, seg´ n u
a Mj = F1 1j · · · Fmmj , a

para j = 1, · · · , n.

La matriz

se denomina...