Analisis dimensional y semejanza

Analisis Dimensional y Semejanza

Dado que el numero de problemas que se puede resolver en forma puramente analítica es pequeño, la gran mayoría requiere algún grado de resultados empíricos o experimentales. Lo anterior es particularmente cierto en el ámbito de la mecánica de fluidos, cuyo desarrollo ha dependido fuertemente de resultados experimentales. Por otro lado los resultados obtenidosen forma experimental deben ser lo más generales posibles y extrapolables a situaciones fuera de las condiciones “ideales” en las que se realizaron. El análisis dimensional ofrece un método para reducir problemas físicos complejos a su forma funcional más simple antes de obtener una respuesta cuantitativa acerca del problema. Permite, por lo tanto, tener una vision general del problema y lasvariables (adimensionales) relevantes involucradas.
En el corazon del analisis dimensional se encuentra el concepto de similitud o semejanza. En terminos fısicos, la similitud se refiere a alguna equivalencia entre dos fenomenos diferentes.
Por ejemplo, bajo algunas condiciones particulares hay una relaci´on directa entre las fuerzas que actuan sobre un avion de tamano real y aquellas que actuan sobreun modelo a escala que se prueba en el tunel de viento de un laboratorio. La pregunta es naturalmente, cuales son esas condiciones que hacen equivalente el estudio y extrapolables los resultados de un modelo a escala. En terminos matematicos, la similitud se refiere a una transformacion de variables que llevan a una reduccion en el numero de variables independientes que especifican un problema.Aquı la pregunta natural es, que tipo de transformacion es necesaria hacer y en cuanto se pueden reducir el numero de variables independientes. El analisis dimensional es una herramienta que
responde estas preguntas. Su utilidad principal radica en la capacidad de representar en formamas reducida la forma funcional de relaciones fısicas involucradas en un fenomeno dado. Un problema que en unprincipio puede parecer complejo, puede a veces resolverse con un esfuerzo pequeño a traves del analisis dimensional.
Como ejemplo de lo anterior consideraremos el problema de determinar la caıda de presion por unidad de largo pl, que se produce a lo largo de la tuberıa lisa por efecto de la friccion.
Dentro de las variables geometricas y fısicas que se esperarıa que influyeran en la caıda de presionse encuentra el diametro de la tuberıa, la velocidad del flujo y la viscosidad y densidad del fluido.
Se puede establecer por lo tanto una relaci´on funcional f de la siguiente forma:
pl = f(D, _, μ, V )
donde f es la funcion a determinar experimentalmente. El desarrollo de experimentos sistematicos para encontrar f implicar´ıa necesariamente el medir pl variando solo una de las variables ala vez, la velocidad por ejemplo, y manteniendo las demas constantes. Este proceder deberıa repetirse analogamente para cada una de las variables obteniendo una gran cantidad de informacion la cual se puede representar graficamente como se muestra en el grafico 8.1.

Extraer de esta informacion la deseada funcion f que relacione las variables independientes con la dependiente es, incluso paraeste caso sencillo, practicamente imposible. Ademas de esto las dificultades experimentales, como por ejemplo, variar la densidad manteniendo la viscosidad constante, no son despreciables e incluso pueden llegar a ser imposibles de solucionar.

Figura 8.1: Relacion entre la caıda de presion con las distintas variables independientes.

Salta a la vista que esta forma de proceder, tanto desde unpunto de vista practico como
economico, no es apropiada . En este caso la relacion funcional entre la variable dependiente(_pl) y las variables independientes (D, V, _, μ) se puede expresar en funcion de dos grupos de variables sin dimension, denominados grupos adimensionales, de la siguiente forma:

Una primera ventaja de este proceder es que se redujo el numero de variables de cinco a dos....