analisis dimensional

1

An´lisis dimensional
a

El an´lisis dimensional es una herramienta conceptual muy utilizada en la
a
f´
ısica, la qu´
ımica y la ingenier´ para ganar comprensi´n de fen´menos que
ıa
o
o
involucran una combinaci´n de diferentes cantidades f´
o
ısicas. Es adem´s,
a
rutinariamente utilizada para verificar relaciones y c´lculos, as´ como para
a
ı
construir hip´tesis razonablessobre situaciones complejas, que puedan ser
o
verificadas experimentalmente.
Uno de dichos usos est´ basado en el requerimiento de consistencia dimena
sional. Este requerimiento est´ relacionado con la 2da Ley de Newton: cuando
a
se describen magnitudes mec´nicas, el conjunto de magnitudes que se utilice
a
puede ser arbitrario; sin embargo existen dos tipos de sistemas de magnitudes,
losconsistentes y los no consistentes. Se dir´ que un sistema de magnitudes
a
es consistente si las magnitudes que lo define verifican la siguiente propiedad:
[F ] = [M ][A]
donde los corchetes indican la magnitud. Para que un sistema pueda ser utilizado en la mec´nica, este debe ser consistente.
a
Los conceptos de unidad y magnitud est´n relacionados pero no son lo mismo:
a
en efecto, en laobservaci´n de fen´menos, cada cantidad f´
o
o
ısica Rj , tendr´
a
asociada unidades {Rj } –que indicaremos entre llaves– que representan cantidades de referencia de una magnitud, aceptadas por convenci´n. As´ un
o
ı
kilogramo (kg ) corresponde a una cantidad de masa est´ndar y patr´n o una
a
o
pulgada (in) corresponde con una longitud patr´n que puede representarse
o
por 2, 54 cent´ımetros (cm), otra unidad patr´n en otro sistema de unidades.
o
As´ una cantidad f´
ı
ısica se representa, en un sistema de unidades como
Rj = v (Rj ){Rj },
donde v (Rj ) es un n´ mero real que representa el valor de dicha cantidad
u
expresada en unidades {Rj }. Si se desea utilizar otro sistema de unidades,
ˆ
debe disponerse de una relaci´n del tipo Rj = x−1 Rj que permita el cambio
o
jentre dichos sistemas. As´ la misma cantidad f´
ı
ısica resultar´
a
ˆ
ˆ
Rj = v (Rj )xj {Rj } = v (Rj ){Rj },
ˆ
v (Rj )
ˆ

donde el factor xj es el denominado factor de conversi´n.
o
Los sistemas de magnitudes se representan por s´
ımbolos. Por ejemplo, [MLTΘ]
representan respectivamente masa, longitud, tiempo y temperatura. As´
ı,
1

siguiendo el ejemplo, la velocidad tieneasociada la magnitud [V]; sin embargo, considerando el sistema [M,L,T,Θ] es posible escribir que [V]=[L]/[T],
resultando que hay algunas magnitudes derivadas de otras, mediante una
combinaci´n de aquellos s´
o
ımbolos elevados a alguna potencia.
Definici´n 1 Sistema de magnitudes fundamentales
o
Se llama sistema de magnitudes fundamentales [F1 , · · · , Fm ] al conjunto de
menor cantidad deelementos que permite derivar todas las magntudes involucradas en un fen´menos.
o
El sistema [M,L,T,Θ] es un sistema fundamental de magnitudes para la
mec´nica. En este sistema, la fuerza tiene una magnitud derivada [M][L]/[T]2 .
a
Sin embargo, en virtud de la ley de Newton, ser´ posible definir un sistema
ıa
[F,L,T,Θ] de magnitudes fundamentales, en el cu´l la masa tendr´ una maga
ıa
2nitud derivada [F][T] /[L]. As´ los sistemas de magnitudes fundamentales
ı,
son arbitrarios, pesando sobre ellos el unico requerimiento de consistencia
´
dimensional.
Propiedad 1
Las magnitudes que forman un sistema fundamental son independientes:
m

Fixi = 1 ⇒ xi = 0,

para i = 1, 2, · · · , m.

i=1

El conjunto de los s´
ımbolos que definen un sistemas de magnitudes forman
un grupo :en efecto, existe un elemento identidad, indicado por [1] y todo
s´
ımbolo –por ejemplo L– tiene su inverso –en este caso, L−1 . Adem´s, todo
a
s´
ımbolo elevado a una potencia es miembro del grupo, con inverso
Definici´n 2
o
Sea un sistema de n magnitudes, representadas por su correspondiente s´
ımbolo
[Mj ], los que se pueden representar por un sistema de m magnitudes fundamentales...