Analisis Dimensional

DimenEJERCICIO RESUELTO. ANÁLISIS DIMENSIONAL Encuentre la ecuación que nos proporciona la descarga de un fluido ideal a través de una tubería estrecha horizontal, sabiendo que depende de la caídade presión por unidad de longitud, del diámetro de la tubería y de la viscosidad, µ, del fluido. Dato: [ ] = MLֿ¹Tֿ¹ (Descarga=Caudal = Volumen que fluye por unidad de tiempo), (Presión: Fuerza porunidad de superficie) Solución Magnitud Descarga Caída de presión por unidad de longitud Diámetro Viscosidad Símbolo Q ∆p/l D Dimensión L³Tֿ¹ MLֿ²Tֿ² L MLֿ¹Tֿ¹

Escribimos la ecuación física deforma:
 ∆p  f  Q, , D, µ  = 0 l  

[1]

Re-escribimos la ecuación, de forma más general, usando el teorema de Pi, en función de monomios adimensionales Π1 , Π2 .Π 3 ,……….: G (Π1 , Π2 , ..Π i,……….) = 0 [2]

Escribimos el monomio genérico Πi . En él intervienen, multiplicadas, todas las variables, elevadas cada una de ellas a un exponente distinto)
(Recuerdo: Un monomio es una combinación devariables donde no aparecen los signos + ni -).

 ∆p  x3 x4 Πi = Q   D µ l  
x2 x1

[3]

Recordamos que Πi es un monomio adimensional: [ Π i ] = L0 M0 T0 Escribimos la ecuacióndimensional:

[Π i ] = (L3T −1 ) x (ML−2T −2 ) x
1

2

Lx3 ( ML−1T −1 ) = M 0 L0T 0
x4

Los exponentes de cada dimensión deben ser iguales en cada lado de la ecuación. 3x1 − 2 x2 + x3 − x4 = 0 x2+ x4 = 0 − x1 − 2 x2 − x4 = 0 Resolvemos el sistema de ecuaciones, que tiene menos ecuaciones que incógnitas, determinando primero el nº de soluciones independientes , i , que tiene el sistema

ConL primero, e igualmente con M y T

i = n−h
n = nº de incógnitas, y h es el rango o característica de la matriz formada con los coeficientes i=4-3=1 Sólo hay un monomio independiente puesto que i= 1 Resolvemos el sistema de ecuaciones, suponiendo que x1 = 1 Resultando :

x1 = 1 ,, x2 = −1 , x3 = −4 ,, x4 = 1

El monomio adimensional es por tanto: (hemos sustituido en [3])

Π1 =...