Analisis dinamico

ANÁLISIS DEL LUGAR GEOMÉTRICOS DE LAS RAÍCES

INTRODUCCIÓN:

La característica básica de la respuesta transitoria de un sistema en lazo cerrado se relaciona estrechamente con la ubicación de los polos en lazo cerrado. Si el sistema tiene una ganancia de lazo variable, la ubicación de los polos en lazo cerrado depende del valor de la ganancia de lazo elegida. Por lo tanto, esimportante que el diseñador conozca como se mueven los polos en lazo cerrado en el plano s conforme varía la ganancia del lazo.

Los polos en lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica. Si esta tiene un grado superior a tres (3), es muy laborioso encontrar sus raíces y se requerirá de una solución con computadora. Sin embargo, simplemente encontrar las raíces de la ecuacióncaracterística puede tener un valor limitado, debido a que, conforme varia la ganancia de la función de transferencia en lazo abierto, la ecuación característica cambia y deben repetirse los cálculos.

W.R. Evans diseño un método sencillo para encontrar las raíces de la ecuación característica, que se usa ampliamente en la ingeniería de control. Este método se denomina "método del lugar geométrico de lasraíces", en el se grafican las raíces de la ecuación característica para todos los valores de un parámetro "k" sistema. Para sistemas en lazos cerrado con retroalimentación negativa , k Є [0,+oo).


METODO DEL LUGAR DE LAS RAICES:

La idea básica detrás del método del lugar geométrico de las raíces es que los valores de s que hacen que la función de transferencia alrededor del lazo seaigual a -1 deben satisfacer la ecuación característica del sistema. El método debe su nombre al lugar geométrico de las raíces de la ecuación característica del sistema en lazo cerrado conforme la ganancia varía de cero a infinito. Dicha gráfica muestra claramente como contribuyen cada polo o cero en lazo abierto a las posiciones de los polos en lazo cerrado.


GRAFICA DEL LUGAR GEOMETRICO DE LASRAICES:

Para graficar el lugar geométrico de las raíces se debe cumplir dos condiciones, la primera es la del ángulo y la segunda es de la magnitud.









La ecuación característica para este sistema en lazo cerrado será por tal razón:


donde k = 0,1,2,3… Los valores de s que cumplen tanto las condiciones de ángulo como las magnitudes son las raíces de la ecuacióncaracterística, o los polos en lazo cerrado. El lugar geométrico de las raíces es una gráfica de los puntos del plano complejo que solo satisfacen la condición de ángulo.

En muchos casos, G(s).H(s) contienen un parámetro de ganancia K, y la ecuación característica se escribe como:



Entonces, los lugares geométricos de las raíces para el sistema son los lugares geométricos de los polos en lazocerrado conforme la ganancia K varía de cero hasta infinito.

Para medir el ángulo de la ecuación característica se emplea un punto de prueba, por ejemplo supongamos que la función tiene la forma siguiente.


Entonces se debe cumplir:
















Los polos de la ecuación característica se denotan con una "x" , mientras que los ceros se denotan con un "o".EJEMPLO 6-1 (Katsuhiko Ogata . Ingeniería de Control Moderna. Pg. 321)

Considere el siguiente sistema:















Donde , mientras que: H(s) = 1.

1. Determinar los lugares geométricos de las raíces sobre el eje real, y los intervalos donde la ganancia K será positiva,

Es evidente que S1 = 0
S2 = -1
S3 =-2
se verifica que solo hay tres polos en el plano complejo y no existen ceros, se puede verificar también que los polos corresponden a una ganancia cero K = 0.

, pero si K = 0, entonces: , ahora se verificaran los intervalos donde K>0.

Intervalo (0,+oo), se tiene que:










se puede verificar que : , esto quiere decir que para ningún punto dentro de este intervalo se...