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M ódulo Matemática
Funciones

FUNCIONES
Observemos los siguientes ejemplos:
1) La siguiente gráfica representa la altura y, con el paso del tiempo x , a la que se
encuentra un globo de hidrógeno que se ha soltado y que se va elevando hasta que
estalla:

2) La siguiente tabla representa la variación y del área de un cuadrado en función de la
medida x del lado:
Área del cuadrado (y cm2 )4
12,25
16
27,04
30

Medida del lado (x cm)
2
3,5
4
5,2
30

3) En una prueba de frenos de un auto en un camino seco, se encuentra que la relación
entre la distancia de frenado, y, con la velocidad del auto, x , puede representarse
mediante la fórmula y = 0,012 x 2 ; y se mide en m y x se mide en km/h
En estos tres ejemplos, observamos una relación entre dos magnitudes, x e y. Elvalor
que adopta una de ellas (y) depende del valor asignado a la otra (x ). Por esta razón,
decimos que y es la variable dependiente y que x es la variable independiente , y
podemos escribir y = f (x ), lo que indica que el valor y es obtenido a partir del valor x
mediante la aplicación de la función f .
Para que una relación entre dos variables numéricas pueda ser considerada una función,es necesario que a cada valor de la variable independiente le corresponda un único
valor de la variable dependiente. En símbolos:
Decimos que f es una función de un conjunto A en otro conjunto B, y escribimos
f : A → B , si y sólo si ∀x ∈ A : ∃ un único y ∈ B tal que f ( x ) = y.

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Funciones

Consideremos una función f : A → B . Diremos que:
• el conjunto A de losvalores a los cuales está permitido aplicar f es el dominio de la
función; en símbolos:
A = Dom( f ).
•

el conjunto B es el codominio de la función; en símbolos B = Cod( f ).

En general, vamos a trabajar con funciones f : A → B donde A y B (dominio y
codominio) son conjuntos numéricos.
Cuando se da una expresión de una función, como por ejemplo f ( x ) = x 2 , y no se dice
cuál es eldominio de f , se entiende que el dominio de f es el mayor conjunto numérico
donde tenga sentido la expresión de la función. En este ejemplo, el dominio de f es el
conjunto R de los números reales, porque a todos los números reales se los puede elevar
al cuadrado, obteniendo tambien un real.
Ejemplo: Tomemos f ( x) = x . Para hallar el dominio tenemos que preguntarnos: ¿a qué
números lepodemos aplicar la expresión de f ?
En este caso, la pregunta es ¿a qué números les podemos calcular la raíz cuadrada?
Sabemos que éstos son los números mayores o iguales a 0. Por lo tanto, decimos que el
dominio de f son los números mayores o iguales a 0. En símbolos: Dom( f ) = [ 0, + ∞)
Actividad:
Determinar el dominio de las siguientes funciones y calcular, cuando sea posible,
f (0) y f (–9):2x +1
x −3
f ( x ) = log(1 − x)

f (x ) =

d)

f (x ) =

b)

1
x
f ( x) = 3 x + 4

c)

f ( x) = 2 x + x

e)
f)
g)

f (4),

f ( x) = ( x + 1) 2 + 2

a)

h)

f (x ) =

2
x +1
2

f ( x ) = −2

Observación: A todo elemento x del dominio A le corresponde un elemento y de B. Sin
embargo, pueden existir elementos y ∈ B que no se puedan obtener de ningúnelemento x de A. Por ejemplo: consideremos la función f : Z → Z tal que f (x ) = 2x .
Notemos que los y que se obtienen mediante la aplicación de f sobre todos los
números enteros son todos números pares. Luego, existen elementos en el codominio
(Z), por ejemplo el número 3, que no tienen la forma f (x ), para x ∈ Z .
Estos nos lleva a definir un nuevo concepto: la imagen de una función.
Llamaremosimagen de una función f : A → B
al subconjunto de B que se obtiene
mediante la aplicación de f a todos los elementos de A. En símbolos:
Im( f ) = { y
∈ B : ∃ x ∈ A / f (x ) = y }.
En el ejemplo anterior, f : Z → Z tal que f (x ) = 2x :
• Dom( f ) = Z
•

Cod( f ) = Z

•

Im( f ) = { y ∈ Z : y = 2t , t ∈ Z}, es decir, el conjunto de los números pares.
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