Analisis en varias variables

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIER´
IA
FACULTAD DE CIENCIAS
Escuela Profesional de Matem´tica
a

CICLO 2011-II

[Curso An´lisis real en varias variables II]
a
[Prof:J. Cotrina]

Primera Pr´ctica calificada
a
Problema 1.
Dado U ⊆ Rm abierto, sea f : U → Rn diferenciable en el punto a ∈ U . Pruebe
que si l´ vk = v en Rm y l´ tk = 0 enR entonces
ım
ım
l´
ım

k→+∞

f (a + tk vk ) − f (a)
= f (a) · v.
tk

Problema 2.
Sean f : U → Rn diferenciable en el abierto U ⊆ Rm . Si, para algun b ∈ Rn , elconjunto f −1 (b) posee un punto de acumulaci´n a ∈ U entonces f (a) : Rm → Rn no
o
es inyectiva.
Problema 3.
Sea f : U → Rn Lipschitiziana en el abierto U ⊆ Rm , con a ∈U , y g : V → Rp
diferenciable en el abierto V ⊆ Rn , con f (U ) ⊆ V y b = f (a). Si g (b) = 0 entonces
g ◦ f : U → Rp
Problema 4.
Sea f : U → Rn diferenciable en elabierto U ⊆ Rm . Si |f (x)| es constante cuando
x varia en U entonces el determinante jacobiano de f es identicamente nulo.
Problema 5.
Sea f : U → Rn \ {0} diferenciable en elabierto conexo U ⊆ Rm . Para que |f (x)|
sea constante es necesario y suficiente que f (x) · h sea perpendicular a f (x), para todo
x ∈ U y todo h ∈ Rm .
Problema 6.
Sea U⊆ Rm abierto, [a, b] ⊆ U , f : U → Rn continua en [a, b] es diferenciable en
]a, b[. Para casa y ∈ Rn existe cy ∈]a, b[ tal que
f (b) − f (a), y = f (cy ) · (b − a), y .Problema 7.
Sea f : Rm → Rn diferenciable con l´ f (x) · x = 0 entonces la aplicaci´n g :
ım
o
Rm → Rn definida por g(x) = f (2x) − f (x) es acotada.
Problema 8.
Sea f : U→ Rn diferenciable en el abierto U ⊆ Rm . Si f : U → L(Rm ; Rn ) es
continua y K ⊆ U compacto entonces existe a > 0 tal que x, y ∈ K ⇒ |f (y)−f (x)| ≤
a|x − y|.

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