Analisis Espectral

ANÁLISIS ESPECTRAL DE SEÑALES UTILIZANDO EL MÉTODO DE WELCH
Andrés Espinoza, Paúl González
Universidad Rafael Urdaneta

RESUMEN
El espectro de potencia, representa la distribución de la potencia de la señal en función de la frecuencia. Los métodos clásicos o convencionales para llevar a cabo el análisis espectral utilizan el periodograma, el cual puede ser obtenido por métodos directos oindirectos. El método Welch consiste del promedio de periodogramas modificados, reduce la variancia del estimador pero disminuye la resolución. Este método utiliza ventanas que se le aplica a los datos. Existen distintos tipos de ventanas y cada una tiene definida su función. La señal es un ruido blanco gaussiano, que no es más que una señal aleatoria en el tiempo.

PALABRAS CLAVES
AnálisisEspectral, Espectro, Periodograma, Ventana.

INTRODUCCIÓN
El análisis espectral implica la estimación de uno o más parámetros de senoides presentes en una señal, por ejemplo: frecuencia, fase, amplitud, potencia. La función densidad espectral de potencia o simplemente espectro de potencia, modela la distribución de la potencia de una señal en función de la frecuencia. La señal es descrita por Nmuestras, con periodo de muestreo cada T segundos. El análisis espectral clásico utiliza la transformada discreta de Fourier para estimar la densidad espectral de potencia, asumiendo que la señal es periódica fuera del intervalo de observación (P = NT).
Para filtrar varias señales en necesario que la separación en frecuencia sea mayor a 1/NT Hz, en caso contrario, es necesario el empleo de otrosmétodos conocidos en conjunto como métodos modernos de análisis espectral. El análisis espectral clásico se aplica cuando el numero de muestras disponibles es grande (N > 100). Para baja relación señal a ruido (SNR), los métodos clásicos son comparables a los métodos modernos de estimación espectral y con menos requerimiento de computación.
Schuster fue el primero en introducir el término“periodograma” en 1898, al estudiar la variación del número de manchas solares para descubrir su periodicidad (la cual es de 11,125 años).
El análisis espectral se aplica en campos tales como estadística, geofísica, comunicaciones, medicina, química, etc., desafortunadamente el amplio campo de aplicación ha creado diversa terminología para las mismas técnicas.
El periodograma es un estimador de la funciónDEP y puede obtenerse por los métodos directo o indirecto mostrados en la figura 1. Como se observa, en el método indirecto primero se estiman las autocorrelaciones y después se obtiene la transformada de Fourier. Al espectro estimado por el método indirecto también se le conoce como correlograma. Al espectro estimado por el método directo se le conoce como espectro muestra o periodograma nomodificado, asume una función muestra de un proceso ergódico.

**El espectro se escala por el factor T para que las unidades de la DEP sean Watts/Hz

SECCIÓN 2
Mediante esta sección podemos conocer el Método de Welch y los dos tipos de Ventanas que se utilizaron en este método.

Método de Welch
Los datos se seccionan en K = N / M segmentos de M muestras cada uno. En este método se aplica unaventana w(n) a cada segmento antes de obtener el periodograma respectivo (llamado periodograma modificado).
Los K periodogramas modificados están dados por:

Donde:

El espectro estimado está definido como:

La media del estimador está dada por:

Donde:

La variancia del estimador espectral está dada (para segmentos sin traslape) por:


El factor de normalización U se requiere paraque el estimador sea asintóticamente no polarizado.
Se concluye que ventaneando los datos antes de obtener el periodograma se reduce la varianza, y se obtiene un espectro filtrado con cierta perdida de resolución.

También el método de Welch, tiene otra técnica, ésta consiste en traslapar los K segmentos de datos. Si el proceso de ventaneo se aplica a segmentos sin traslape, parte de...