Analisis financiero

EJERCICIOS DE FACTORIZACION RESUELTOS
FACTORIZACION
 
OBJETIVOS:
 
Adquirir habilidad en el manejo de los diferentes casos de factorización.
 
Identificar los diferentes casos de factorización para aplicarlo en la solución de ejercicios.
 
INTRODUCCION:
 
Hemos visto que la multiplicación consiste en obtener el producto de dos o más expresiones dadas.  A continuación nosejercitaremos en el problema inverso, que consiste en obtener los factores de un producto dado. Al proceso de expresar un polinomio como un producto se le da del nombre de factorización. La factorización es el proceso inverso de un producto notable. 
 
En este taller consideramos la factorización de cierto tipo de polinomios que serán usados en problemas posteriores.  La mayor parte de éstos tipos defactorización tienen su fundamento en las fórmulas de productos notables vistas anteriormente.
 
DESARROLLO:
 
Factorizar un polinomio es descomponerlo en un producto de dos o más polinomios que pueden ser primos o compuestos (no factorizables).
 
Al factorizar un polinomio debemos tener en cuenta el número de términos que posea. Si la expresión a factorizar es un binomio, entonces, los casos atener en cuenta son:
 
1.  Factor común:                                 x a + x b = x (a + b)
 
1. Diferencia de cuadrados:                 a2 – b2 = (a + b) (a – b)
 
1. Suma y diferencia de dos cubos:     a3 + b3  = (a + b) (a2 – a b + b2)
                                                                    a3 –  b3 = (a – b) (a2 + a b + b2)
Si la expresión a factorizar es untrinomio, entonces, los casos a tener en cuenta son:
 
1. Trinomio cuadrado perfecto:           a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
                                                                     a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
 
1. Trinomios de la forma:                    x2 + b x + c    y    ax2 + b x + c 
 
Estos casos se pueden combinar en expresiones polinómicas con un número superior a trestérminos, los cuales se factorizan agrupando términos.
Factorizar completamente cada uno de los siguientes polinomios.
 
a)  3x3 y2 + 9x2 y2 – 18xy2
 
Solución: Se   observa   que   hay   factores   comunes   entre   los  términos  del polinomio  dado,   por  lo  que  se  eligen  los  factores  comunes  con  su  menor exponente  (M.C.D.)  tanto  entre  los  coeficientes  numéricos  (3, 32, 2.32) comoentre las variables, obteniéndose: 3xy2
 
El otro factor resulta de dividir cada término del polinomio entre el factor común:
 
,           ,           
 
Por tanto, el polinomio factorizado será:
 
3x3 y2 + 9x2 y2 – 18xy2 = 3xy2 (x2 + 3x – 6)
 
La factorización se puede comprobar efectuando el producto indicado en el lado derecho de igualdad, el cual debe dar el polinomio que sefactorizó.
 
b)  a (m – 1) + b (m – 1) – c (m – 1)
 
Solución: El factor común también puede ser un polinomio, en este caso, m – 1 y la factorización se realiza en forma análoga a cuando el factor común es un monomio (véase el ejercicio anterior).
 
Por lo tanto,      a (m – 1) + b (m – 1) – c (m – 1) = (m – 1) (a + b – c)
 
c)  2av2 + 3u3 + 2auv – 3uv2 – 2au2 – 3u2 v
 
Solución: A simplevista se observa que no hay factor común, pero hay términos que “se parecen” como 2av2 y 3uv2. Además, hay un número par de términos, por lo que, se puede pensar en el caso de factor común por agrupación, que consiste en hacer grupos con igual cantidad de términos, se factoriza cada grupo con el propósito de conseguir un nuevo factor común, y luego, se completa la factorización. Si al factorizar losgrupos no se consigue un nuevo factor común, entonces, se agrupan de otra forma hasta lograrlo.
 
Efectuemos una agrupación conveniente de términos, por ejemplo, el 1º con el 4º, el 5º con el 2º y el 3º con el 6º.  Entonces,
 
 
     2av2 + 3u3 + 2auv – 3uv2 – 2au2 – 3u2 v
      =  (2av2 – 3uv2) – (2au2 – 3u3) + (2auv – 3u2 v)  (se factoriza cada grupo)
      =  v2 (2a – 3u) – u2 (2a...