analisis funcional

´
ANALISIS FUNCIONAL Y
ECUACIONES EN DERIVADAS
PARCIALES
Asignatura optativa, Cuarto Curso
Grado de Matem´ticas
a
´
Facultad de Matematicas
Universidad de Sevilla
E. Fern´ndez Cara
a

2

Tabla de contenidos
Introducci´n
o

5

1 Generalidades
1.1 Motivaci´n. Las EDPs como herramientas para la descripci´n de
o
o
fen´menos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
o
1.1.1 Definiciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Las EDPs de Laplace, Poisson, calor y ondas . . . . . . .
1.2 Soluciones cl´sicas y soluciones generalizadas. Interpretaciones. .
a
1.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9
9
9
11
14
16

2 El teorema de Lax-Milgram y la formulaci´n d´bil de problemas
o
eel´
ıpticos
2.1 Operadores lineales continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 El teorema de la proyecci´n y el teorema de Lax-Milgram . . . .
o
1
2.3 Los espacios de Sobolev H 1 , H0 y H −1 . Propiedades . . . . . . .
2.4 Formulaci´n d´bil de problemas el´
o e
ıpticos . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Ap´ndice: Algunos resultados auxiliares . . . . . . . . . . . . . .
e
2.6Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21
21
25
29
38
42
51

3 Teor´ espectral y aplicaciones a las EDPs
ıa
3.1 Operadores lineales compactos. Propiedades . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Primeros ejemplos: operadores integrales . . . . . . . . .
3.2 El teorema de alternativa deFredholm. Primeras aplicaciones . .
3.3 El espectro de un operador lineal compacto . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Definiciones y resultados fundamentales . . . . . . . . . .
3.3.2 Aplicaci´n a la resoluci´n de algunas ecuaciones integrales
o
o
3.4 El teorema de Hilbert-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 El caso de un operador el´
ıptico autoadjunto . . . . . . . . . . . .
3.5.1Un resultado abstracto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Autovalores y autofunciones de un operador el´
ıptico autoadjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Soluciones d´biles de problemas de evoluci´n . . . . . . . . . . .
e
o
3.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63
63
63
66
67
70
71
74
76
80
80Bibliograf´
ıa

93

3

82
84
87

4

Introducci´n
o
El objetivo principal de estas Notas es presentar los fundamentos de la teor´
ıa
moderna de ecuaciones en derivadas parciales (en lo que sigue EDPs).
De forma bastante imprecisa, diremos que una EDP es una igualdad en la
que la inc´gnita es una funci´n de dos o m´s variables independientes y en la que
o
o
a
aparecen derivadasparciales de ´sta. Se denomina orden de la EDP al mayor
e
de todos los ´rdenes de estas derivadas.
o
Por ejemplo, si aceptamos que u = u(x1 , x2 ) es una funci´n desconocida (la
o
inc´gnita), entonces
o
∂2u ∂2u
+
= 0,
∂x2
∂x2
1
2

∂2u
∂u
∂2u
2 + ∂x − ∂x2 = 0,
∂x1
1
2

∂u
∂2u
= u(1 − u)
−
∂x1
∂x2
2

son EDPs de segundo orden (se trata de EDPs de gran importancia enlas
aplicaciones). Por otra parte,
∂4u
∂4u
∂4u
+2 2 2 2 +
= 0,
∂x4
∂ x1 ∂x2
∂x4
1
2

∂3u
∂u
∂4u
−
+
=0
∂x1
∂x1 ∂x2
∂x4
2
2

y
sen u + exp

∂2u
∂x2
1

+

∂4u
=0
∂x2 ∂x2
1
2

son EDPs de cuarto orden.
La resoluci´n de problemas ligados a EDPs puede llevarse a cabo bajo dos
o
enfoques diferentes. El enfoque “cl´sico” utiliza las herramientas fundamentalesa
del C´lculo Diferencial y proporciona, cuando es posible, funciones que son
a
soluciones en un sentido habitual. Esto es, funciones con derivadas parciales
del orden adecuado que verifican las EDPs consideradas “puntualmente”, en
todos los puntos de una regi´n apropiada. Desgraciadamente, este enfoque s´lo
o
o
condice a reultados satisfactorios bajo condiciones muy restrictivas.
Como...