Analisis Geometrico

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Capítulo V

Introducción al análisis por el método de elemento finito

El método de elemento finito es una técnica para resolver ecuaciones diferenciales
parciales, primero, discretando las ecuaciones al describir el problema en sus dimensiones
espaciales. Esta discretización se lleva a cabo sobre las pequeñas regiones de formas
arbitrarias. Estos resultados, en matrices relacionanla entrada de puntos específicos a la
salida de todos los puntos en el dominio. Para resolver las ecuaciones sobre grandes regiones,
las ecuaciones en matrices para regiones más pequeñas son sumadas nodo por nodo. Esto
resultará en el desarrollo de ecuaciones matriz globales.

De acuerdo a Champion [12], un estándar de método del elemento finito consta de
doce pasos.
Paso 1. Definición delproblema y su dominio. De acuerdo a los métodos de elemento finito,
MEF, existen tres fuentes de aproximación. El primero es la definición del dominio, tanto
físico como geométrico; el segundo es la discretización del dominio físico; y el tercero es la
solución por algoritmos.
La aproximación usada en la definición de las características físicas de diferentes regiones
del dominio está bienorientada. Sin embargo, la definición geométrica del dominio requiere
establecer un sistema de coordenadas global, a través del cual se tomarán coordenadas de
ciertos puntos, los cuales definirán las ecuaciones de línea y superficies de los elementos a
detallar.

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El dominio puede ser limitado o no (algunas partes se extienden hacia el infinito).
Paso2. Discretización del dominio. Ya que elproblema es usualmente definido sobre
dominio continuo, las ecuaciones que gobiernan, con excepción de las condiciones de
frontera, son válidas para todo el dominio como cualquier porción. Esto permite la
idealización del dominio en forma interconectada de dominio de tamaño finito de diferente
tamaño y forma. La idealización del dominio deberá hacer referencia a lo siguiente:
En laidealización del dominio de un elemento finito, se hace referencia a dos elementos:
elementos finitos, y elementos maestros. Los elementos finitos son aquellos que al ponerlos
juntos resultan de la versión discreta del dominio continuo real. Los elementos finitos son
generalmente de lados rectos, sin embargo, pueden ser curvos en los límites o superficies
curvas como en las cáscaras (shells). Loselementos curvos contienen, por lo tanto,
aproximaciones geométricas, además de las aproximaciones físicas. Estas aproximaciones
geométricas son controladas por el número de nodos utilizados al exterior de los elementos
que definen la forma. Las aproximaciones físicas son controladas por el número total de
nodos, tanto interior como exterior, y son utilizadas para definir algunas funciones(funciones
de forma) de la variable de estado.
Los elementos maestros (master elements) son aquéllos utilizados en lugar de los elementos
finitos, con el propósito de facilitar los cálculos en el dominio del elemento. La definición de
funciones de forma y, particularmente, la integración, se vuelven más simples con los
elementos maestros. En general, los elementos maestros son líneas rectas,triángulos rectos o
prismas, cuadrados y cubos. Éstos están definidos en referencia para normalizar los ejes
coordenados. De esta forma, los elementos reales pueden ser de cualquier forma y tamaño.
Paso3. Identificación de variables de estado. Hasta ahora no se ha hecho énfasis en la
naturaleza física del problema. Este paso consiste en la identificación del tema que se está

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analizando, y a que d e este dependerán las variables a utilizar; estas variables son
relacionadas una con otra por una ecuación constitutiva que representa una expresión
matemática de una ley física.
Paso 4. Formulación del Problema. Comúnmente un problema físico es formulado como una
ecuación diferencial con condiciones límite o como una ecuación integral (funcional) sujeta a
requerimientos estáticos....