Analisis II

INDICE:
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1) CALCULO DIFERENCIAL DE VARIAS VARIABLES

a) Diferenciales ………………………………………………………………………………………………………....

b) Máximos y mínimos………………………………………………………………………………………………..


2) SEGUNDO CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIASa) ecuaciones de primer orden no lineales………………………………………………………………….

3) DISEÑO PEDAGOGICO PARA EL DICTADO DEL CALCULO II

a) consignas del cálculo integral………………………………………………………………………………….















CALCULO DIFERENCIAL DE VARIAS VARIABLES
DIFERENCIALES
Recordando que para una función de una variable y=f(x), se define el incremento de la función y como, y ladiferencial de y se define como: dy=f´(x) dx. La figura siguiente muestra la relación entre y ydy







Ahora se generalizará el concepto de diferenciales a funciones de dos y mas variables.
1. FUNCIONES DIFERENCIALES
i) DEFINICIÓN.
Sea f: , definida en un entorno de un punto es diferenciable en si el incremento total correspondiente a los incrementos con i= 1,2,….,n de las variablesindependientes puede expresarse como:




Donde las son constantes independientes de los y los , que son funciones de los , son infinitésimos para .
En la expresión a los n primeros términos se los denomina la parte lineal en los , y los últimos la parte no lineal en los .

ii) PARA FUNCIONES DE DOS VARIABLES
Si f es tal que z= f(x,Y) entonces f es diferenciable en si el incrementototal .
Puede expresarse como

iii) DIFERENCIABILIDAD Y CONTINUIDAD
Consecuencia: Diferenciabilidad implica continuidad.

Teorema.
Si una función es diferenciable en un punto entonces es continua en ese.
Es inmediato que una función diferenciable en un punto es continua en dicho punto ya que puede hacerse tan pequeño como se quiera con tan solo tomar los suficientemente pequeños. ( estees, precisamente, el concepto de la continuidad).

iv) VALOR DE LAS CONSTANTES CON i=1,2,…,n
Teorema.
Si una función es diferenciable en, entonces el incremento total En ese punto puede escribirse como:

Hipótesis.
f es diferenciable en .
Tesis.

Demostración.
La función f es diferenciable en entonces su incremento puede escribirse como.

Como los son independientes entresi, se puede anularlos a todos excepto a uno cualquiera, digamos , y por ser z diferenciable su incremento resultará.

Dividiendo ambos miembro por resulta

Considerando límite para

Resulta

Detallando resulta que,

Reemplazando en queda

Caso particular: en caso de trabajar con z=f(x,y) será:

Ejemplo.
Probar que la funciónf:f(x,y)=3x-xy² es diferenciable en todo punto de R².
Se debe comprobar que para todo de R² se pueden determinar y… tales que:




Como f(x,y)= 3x-xy²,
Con estos valores y el valor de , se obtiene,



Considerando (son posibles otras elecciones para )

Tomando límite

Se concluye que f es diferenciable en todo punto ( de R².

2. DIFERENCIAL TOTAL DE UNA FUNCION.i) Definición de diferencial total
Sea Una función diferenciable. Se llama diferencial total de la función f a la parte del incremento total , que es lineal en los y se los representa con dz



Como = Aj J = 1, 2, …, n se tiene



Por ser las… variables independientes, se cumple



Resulta la siguiente expresión analítica para la diferencial total de una función de nvariables independientes:


Caso particular: para una función de dos variables…..
→ diferencial total
→ expresión analítica de la diferencial total

Ejemplo.
Sea f:f(x,y) = 3x3 y + 4 halle la dz.
Si fx = 6xy y fy = 3x2, luego dz = 6xy dx + 3x2 dy
Se dijo que para una función de una variable, la existencia de la derivada de f en un número implica la diferenciabilidad y, por...