Analisis Iii Practica 0

PRÁCTICA 0. NÚMEROS COMPLEJOS

Ejercicio 1. Efectuar las siguientes operaciones escribiendo los números
complejos que intervienen en forma trigonométrica y exponencial, y escribir el resultado enforma binómica
√
√
1. i(1 − 3i)( 3 + i)
5i
2. 1+i
7
3. (−1 + i)
√ −10
4. (−1 +√ 3i)
5. (1 − i 2)3
Ejercicio 2. Demostrar:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.

(z1 + z2 ) =z 1 + z 2
z1 z2 = z 1 z 2
zz = |z|2
z + z = 2Rez
z − z = 2 i Imz
0 ≤ |Rez| ≤ |z|
0 ≤ |Imz| ≤ |z|
|z1 | − |z2 | ≤ |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |
|z1 | − |z2 | ≤ |z1 − z2 | ≤ |z1 | + |z2 |
|z1 | − |z2 | ≤|z1 + z2 |
|z1 | − |z2 | ≤ |z1 − z2 |
n
n
j=1 |zj |
j=1 zj ≤
|z| = |z|
Si z = 0 entonces z −1 = |z|z 2
√
|z| ≤ |Rez| + |Imz| ≤ 2|z|
|z1 + z2 |2 = |z1 |2 + |z2 |2 + 2Rez1 z2
|z1 − z2 |2 = |z1 |2 + |z2|2 − 2Rez1 z2
|z1 + z2 | = |z1 | + |z2 | ⇔ argz1 = argz2
Si z1 z2 = 0, entonces:
z1 z2 = |z1 ||z2 | ⇔ α1 − α2 = 2kπ
donde α1 y α2 son respectivamente los argumentos de z1 y z2

Ejercicio 3. Considerela ecuación z n = 1.
a)Muestre que dicha ecuación tiene n raíces (se las denomina raíces
n-esimas de la unidad) y que cada una de ellas es:
zk = cos 2πk
+ i sin 2πk
con k = 0, 1, 2, ..., n − 1
n
nb)Muestre que

n−1
k=0 zk

=0
1

Ejercicio 4. a)Si {wj }0n−1 son las raíces enesimas de la unidad, calcular nj=0 wj
b)Si w es una de las raices enésimas de −1, calcular np=0 wp
Ejercicio 5. Hallar todaslas raíces de los números complejos que se
indican y representar los resultados en un plano
√
1. √−1
2. 1 +√i
1
3. (1 + 3i) 3
1
4. (1) 5
Ejercicio 6. Resolver las siguientes ecuaciones:
1. z 2 = i
2.z 3 = 2 + i
3. z 4 = i
4. z 5 = −1
5. z 3 + 1 = 0
6. z 4 + 2z 2 + 2 = 0
7. z 2i − 2z i + 2 = 0
Ejercicio 7. Sea P (z) un polinomio con coeficientes reales. Muestre
que si z0 es una raíz de P (z),entonces z0 tambien lo es.
Ejercicio 8. Discutir los errores que se cometieron en las siguientes
”deducciones”:
1.
√ √
−1 = i2 = i.i = −1 −1 =
√
= (−1)(−1) = 1 = 1
2.

√
√
z 2 = ( z)2

3.
1
2
1
1
= ⇒ z2...