Analisis Mat. Consultas

ANÁLISIS MATEMÁTICO I - Consultas de alumnos por correo electrónico
A continuación se presentan algunas consultas realizadas por alumnos a través del correo
electrónico (color azul), con sus correspondientes respuestas. Se han borrado los datos y
comentarios personales
Índice
U1
U2
U3
U4
U5, U6
U7

Funciones
Problema del monje tibetano
Limite del producto
Continuidad y asíntotasDerivadas
Máximos o mínimos Absolutos y Relativos
Integrales
Sucesiones y Series

La definición simbólica de función inyectiva y suryectiva.
Respuesta:
f inyectiva ⇔ ∀ x1, x2 ∈ Df : (x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2))
f / f : A → B es suryectiva ⇔ If = B
Problema del monje tibetano hola profe, la molesto nuevamente para preguntarle por el problema
del monje tibetano. Yo hice las dos funciones perodespués no se que hacer.
Respuesta:
Las dos funciones (de subida y de bajada) tienen dominio [7; 19] considerando el tiempo en el eje
de abscisas.
La función de subida, f, parte en f(7) = 0 y llega a f(19) = h, siendo “h” la altura del monasterio
La función de bajada, g, parte en g(7) = h y llega a g(19) = 0
Formamos la diferencia que llamamos, por ejemplo “L”: L(t) = f(t) – g(t)
Para t = 7se obtiene: L(7) =...
Para t = 19 se obtiene: L(19) =...
Al ser una combinación lineal de funciones continuas, L(t) también es continua. Analiza el signo
en los extremos y aplica una de las propiedades de las funciones continuas en un intervalo
cerrado.

LÍMITE
En la demostración de limite del producto tengo dos demostraciones una donde se aplica la
definición del limite y la segundadonde representa al limite de la función igual a su limite MÁS
UN INFINITÉSIMO, luego se multiplican los limites y por distributiva queda el producto de los
limites más un polinomio de infinitésimos* lo cual por ser infinitésimos se desprecia, en el caso
de que lo pidiesen se puede usar esta demostración????.
Respuesta:
2-1) Podrás usar cualquiera de las dos, la que entiendas mejor. La segundaaplica el teorema
fundamental del límite: “Toda función es igual a su límite más un infinitésimo”. Te doy una
pseudo demostración gráfica:
Lo que se debe cumplir para todas las x del entorno E*(a, δ) es:
y
| f(x) – L | < ε
L+ε
Gráficamente una diferencia en valor absoluto representa siempre una
d(x)
L
distancia, en este caso “d(x)” entre los valores de la función f(x) (para L–ε
f(x)todas las x del entorno E*(a, δ) que cumplen la definición de límite) y
la recta trazada por y = L
Entonces esa distancia es un infinitésimo porque a medida que
a

1

x

x

x → a, “d(x)” → 0
d(x) = f(x) – L ⇔ f(x) = L + d(x) que es el enunciado de arriba: “Toda función es igual a su
límite más un infinitésimo”
Aclaración: la llamo d(x) porque depende de qué tan cerca esté x del valor“a”.
2-2) * No me parece muy adecuada la expresión “polinomio de infinitésimos”. Volviendo a tu
pregunta, lo que ocurre es que el producto de dos infinitésimos es otro infinitésimo de mayor
orden, es decir que tiende más rápido a cero que un solo infinitésimo. Es como manejar un auto
con motor más potente que otro.
Fijate en el siguiente ejemplo:
f(x) = x–2
g(x) = (x–2)2 Las dos funciones soninfinitésimos en x = 2 (o para x tendiendo a
2), sin embargo g(x) tiene más rápido a 0.
Te sugiero que completes la siguiente tabla de valores, para x → 2:
x
f(x) = x–2
g(x) = (x–2)2
2,1
2,01
2,001

El enunciado de un ejercicio dice: g(x) es continua en [a, b], entonces:
a) No puede tener asíntotas
b) No puede tener asíntotas horizontales
c) No puede tener asíntotas oblicuas
d) No puedetener asíntotas verticales
e) Ninguna es correcta
Para mi sería sólo asíntotas verticales, pero no aclara que es en [a, b].
¿Cual sería la respuesta correcta? ¿Es necesario que aclare en [a, b]?
Respuesta
Tu respuesta es correcta, no puede tener asíntotas verticales porque de lo contrario tendría un polo
y en ese valor de x la función no sería continua. En cambio las horizontales y...