Analisis matamatico

DESIGUALDADES. DEFINICIONES:

Los símbolos < (es menor que), > (es mayor que), ( (es menor o igual a) y ( (es mayor o igual a) se definen como sigue:
a) a < b si y sólo si b – a es positivo
b) a > b si y sólo si a – b es positivo
c) a ( b si y sólo si a < b o a = b
d) a ( b si y sólo si a > b o a = b

Las expresiones , ( y ( se llaman desigualdades, las dos primeras reciben elnombre de desigualdades estrictas y las otras dos desigualdades no estrictas.
Se cumple además que para cualquier número real a positivo,

- a < a

PROPIEDADES:

1º) Si a < b y b < c, entonces a < c
2º) Si a < b, entonces a + c < b + c, si c es cualquier número real
3º) Si a < b y c < d, entonces a + c < b + d
4º) Si a < b y c es cualquier número real positivo, entonces ac < bc5º) Si a < b y c es cualquier número real negativo, entonces ac > bc
6º) Si 0 < a < b y 0 < c < d, entonces ac < bd

La propiedad 4º) expresa que si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por un número positivo, la dirección de la desigualdad permanece invariable; y la propiedad 5º) establece que si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por un número negativo, seinvierte el sentido de la desigualdad. Estas dos propiedades también son válidas para la división.

Las propiedades análogas para la relación de mayor son:

1º) Si a > b y b > c, entonces a > c
2º) Si a > b, entonces a + c > b + c, si c es cualquier número real
3º) Si a > b y c > d, entonces a + c > b + d
4º) Si a > b y c es cualquier número real positivo, entonces ac > bc
5º) Si a > b yc es cualquier número real negativo, entonces ac < bc

6º) Si a > b > 0 y c > d > 0, entonces ac > bd

LA RECTA REAL:

El conjunto R de todos los número reales se puede representar geométricamente por puntos en una recta horizontal, llamada eje o recta real.
Se escoge un punto en el eje para representar al número 0. Este punto se llama origen. Se selecciona una unidad de distancia.Entonces cada número real positivo x queda representado por el punto a una distancia de x unidades a la derecha del origen y cada número real negativo y se representa por el punto a una distancia – y unidades a la izquierda del origen.
Existe una correspondencia uno a uno entre los números reales y los puntos en el eje, es decir, a cada número real le corresponde un único punto enel eje y a cada punto en el eje se le asocia un solo número real.

y 0 1 x

INTERVALOS

Se llama intervalo a todo conjunto de números reales comprendidos entre dos números reales dados llamados extremos.
Los extremos de un intervalo pueden o no pertenecer al conjunto, según sea el caso se presentan los intervalos cerrados, abiertos,semiabiertos o semicerrados y los intervalos infinitos.

( (
Intervalos cerrado: [a,b] = (x ( R / a ( x ( b(
a b

0 0
Intervalo abierto: (a,b) =(x ( R / a < x < b(
a b

( 0
Intervalo semiabierto a derecha (o semicerrado a izquierda): [a,b) = (x ( R / a ( x < b(
a b
0 (
Intervalo semiabierto a izquierda (osemicerrada a derecha): (a,b] = (x ( R / a < x ( b(
a b

(
Intervalos infinitos: [a, + ( ) = (x ( R / x ( a(
a
0
(a, + ( ) = (x ( R...