Analisis matematico Algunas formulas



Autor: J.Lara, J.Arroba.
Titulo: Análisis Matemático.
Año: 2014
Editorial: Centro de Matemática, Universidad Central del Ecuador.
Ciudad, país: Quito-Ecuador.

Función primitiva o anti derivada.
Definición 9.1- La función F se dice una primitiva o anti derivada de f en ]a,b[ si F’(x)=f(x), ∀x ∈ ]a,b[
Teorema 9.1 Sean G y H primitivas de f en ]a,b[ , entonces G-H es una funciónconstante.
Teorema 9.2 Si f y g tienen como primitivas F y G respectivamente en ]a,b[ entonces:
i) F+G es una primitiva de f+g
ii) αF es una primitiva de αf, con α =constante.
Definición 9.2 Se denomina integral indefinida de f y se nota ∫f(x)dx o simplemente ∫f a la primitiva genérica de f; esto es, la primitiva mas general de f. Es decir, ∫f=∫f(x)dx=F(x)+C, donde F es tal que F’=f.Observación.- La letra x que aparece en ∫f(x)dx no tiene significado especial; así, se tiene entonces que:
∫f(x)dx=∫f(t)dt=∫f(u)du=∫f(z)dz

Quinta edición Corregida y Aumentada Julio 2007. Primera Edición Noviembre 1980

Autor: J.Lara, J.Arroba.
Titulo: Análisis Matemático.
Año: 2014
Editorial: Centro de Matemática, Universidad Central del Ecuador.
Ciudad, país: Quito-Ecuador.
Área de Regionesplanas.
ÁREA DE UNA REGIÓN ENTRE DOS CURVAS
Sean f y g funciones integrables en [a,b]; con la condición: f≤g en [a,b]. Consideramos entonces los siguientes casos:
1er Caso.- 0≤f≤g
A(Q)=

2do. Caso.- (CASO GENERAL) f≤g
A(Q)=
Expresión que es exactamente la misma del caso 1.
Nota: si f xi - 1, con i = 1,...,n. La norma de la partición es el intervalo más grande:

Lo que estamos haciendo enpocas palabras es cortar al intervalo en subintervalos disjuntos, cuya unión forma el intervalo original, la norma simplemente es la longitud del intervalo de mayor longitud.
Suma de Riemann]
Sea f una función en [a, b] y tomemos una partición del intervalo [a, b], que denotaremos por P = {x0 = a, x1,...,xn = b} entonces llamamos suma de Riemann a una suma de la forma:
, con 
De maneraintuitiva esta suma representa la suma de áreas de rectángulos con base xk - xk - 1 y altura f(tk). Simbolizamos esta suma como S(P, f), también se utiliza la notación más extensa pero más explícita:

Integrabilidad de Riemann
Una función f acotada definida en un intervalo [a, b] se dice que es Riemann integrable en [a, b] si existe un número I en los reales tal que, para todo número real positivo εexiste una δ positiva tal que si P es una partición de [a, b] con ||P|| < δ y S(P,f) es cualquier suma de Riemann entonces |S(P, f) - I| < ε.
Usualmente para funciones conocidas que sabemos integrables se toma una partición regular del intervalo y se toman los tk como alguno de los puntos extremos de cada intervalo(notar que si no supiéramos que la función es integrable entonces no podríamos tomarcualquier punto del intervalo arbitrariamente, es decir, no podríamos tomar los valores extremos, tendríamos que revisar que para cualquier valor tk que tomáramos en cada intervalo [xk - 1, xk] la suma de Riemann menos algún número real I es menor en valor absoluto que cualquier ε que hubiéramos tomado, en caso de cumplirse habríamos demostrado que la función f es integrable según Riemann en[a, b] y habríamos hallado su valor; en caso de no cumplirse no habríamos probado nada en absoluto), cuando llevamos al límite esta partición, se puede demostrar que obtenemos el valor de la integral:

Esta última expresión es sobre todo útil para funciones que sabemos que son integrables como por ejemplo las continuas. 
Quinta edición Corregida y Aumentada Julio 2007. Primera Edición Noviembre 1980Autor: J.Lara, J.Arroba.
Titulo: Análisis Matemático.
Año: 2014
Editorial: Centro de Matemática, Universidad Central del Ecuador.
Ciudad, país: Quito-Ecuador.
Propiedades de la Integral de Riemman.
Teorema 9.7 Si f y g son Riemann integrables en ]a,b[ y α∈ R, entonces:
1.
2.
3.
4.
5. Si a0, el logaritmo natural satisface las siguientes reglas:
1. Regla del...