Analisis Matematico Ii Tp

ANALISIS MATEMATICO II
TRABAJO PRACTICO No 2
Comisi´n C
o

02/07/2002
2

2

1) Dada la funci´n z = (x2 + y 2 ) e−(x +y )
o
. a) Determinar la verdad o falsedad de las siguientesexpresiones justificando la respuesta:
.
a1 ) En (0, 0) hay un extremo relativo y absoluto.
o
a
ıtico.
.
a2 ) La funci´n tiene m´s de un punto cr´
. b) Determinar el plano tangente en los puntos delDominio P (0, 0) y Q(1, 1).
(40 puntos)

2) Si z = y + f (x2 − y 2 ), en donde f es diferenciable, demostrar que
y·

∂z
∂z
+x·
=x
∂x
∂y

(30 puntos)

3) La longitud x de un lado deltri´ngulo aumenta a raz´n de 3 cm/s. La longitud y del otro
a
o
o
lado disminuye a raz´n de 2 cm/s y el ´ngulo θ comprendido entre ellos aumenta a raz´n de
o
a
0.05 rad/s. ¿A qu´ velocidad cambia el´rea del tri´ngulo cuando x, y, θ miden 40 cm, 50 cm y
e
a
a
30o respectivamente?
(30 puntos)

SOLUCIONES
EJERCICIO 1:
z = f (x, y ) = (x2 + y 2 )e−(x

2 +y 2 )

a)
2 +y 2 )

+ (x2 + y 2)e−(x

fx (x, y ) = (2x)e−(x
= 2x e

−(x2 +y 2 )
2 +y 2 )

= 2x e−(x
⇒ fy (x, y ) = 2y e−(x

2 +y 2 )

1 − (x2 + y 2 )

(1 − x2 − y 2 )
2 +y 2 )

−(x2 +y 2 )

= −4xye−(x

2 +y 2)

2 +y 2 )

fxx (x, y ) = 2e−(x

−(x2 +y 2 )

= 2e

· (−2x)

(1 − x2 − y 2 )

fxy (x, y ) = 2x · −2ye−(x
= 2x · −2ye

2 +y 2 )

(1 − x2 − y 2 ) + e−(x

2 +y 2 )

(1 − x2 − y 2+ 1)

· (−2y )

(2 − x2 − y 2 )

(1 − x2 − y 2 ) + 2x(−2x)e−(x

2 +y 2 )

(1 − x2 − y 2 ) − 2x2 .(1 − x2 − y 2 ) − 2x2
1/3

2 +y 2 )

(1 − x2 − y 2 ) + 2xe−(x

(−2x)

2 +y 2 )= 2e−(x

2 +y 2 )

= 2e−(x

⇒ fyy (x, y ) = 2e−(x
fx (x, y ) = 0 ⇔
fy (x, y ) = 0 ⇔

2 +y 2 )

(1 − x2 − y 2 − 2x2 + 2x4 + 2x2 y 2 − 2x2 )
(2x4 + 2x2 y 2 − y 2 − 5x2 + 1)
(2y 4 + 2x2 y 2− x2 − 5y 2 + 1)

1 − x2 − y 2 = 0 ⇒ x2 + y 2 = 1
x=0
1 − x2 − y 2 = 0 ⇒ x2 + y 2 = 1
y=0

=⇒ fx (x, y ) = 0 ∧ fy (x, y ) = 0 ⇐⇒

x2 + y 2 = 1
(x, y ) = (0, 0)

ıticos y por lo tanto...