Analisis matematico

Carlos Ivorra Castillo

´ ´ ANALISIS MATEMATICO

Si una cantidad no negativa fuera tan peque˜a n que resultara menor que cualquier otra dada, ciertamente no podr´ ser sino cero. A quienes pregunıa tan qu´ es una cantidad infinitamente peque˜a en e n matem´ticas, nosotros respondemos que es, de hea cho, cero. As´ pues, no hay tantos misterios ocultos ı en este concepto como se suele creer.Esos supuestos misterios han convertido el c´lculo de lo infinitaa mente peque˜o en algo sospechoso para mucha gente. n Las dudas que puedan quedar las resolveremos por completo en las p´ginas siguientes, donde explicarea mos este c´lculo. a Leonhard Euler

´ Indice General
Introducci´n o Cap´ ıtulo I: Topolog´ ıa 1.1 Espacios topol´gicos . . . . . . o 1.2 Bases y subbases . . . . . . . . 1.3Productos y subespacios . . . . 1.4 Algunos conceptos topol´gicos . o 1.5 Continuidad . . . . . . . . . . . 1.6 L´ ımites de funciones . . . . . . 1.7 Convergencia de sucesiones . . 1.8 Sucesiones y series num´ricas . e ix 1 1 8 11 15 20 34 43 48 59 59 67 79 83 86 92 96 101 101 104 108 115 118 123 127 133 144 148

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Cap´ ıtulo II: Compacidad, conexi´n y completitud o 2.1 Espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Espaciosconexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Espacios completos . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Aplicaciones a las series num´ricas . . . . . . . . e 2.6 Espacios de funciones . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Ap´ndice: El teorema de Baire . . . . . . . . . . e Cap´ ıtulo III: C´lculo diferencial de una variable a o 3.1 Derivaci´n .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 C´lculo de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . a 3.3 Propiedades de las funciones derivables . . . . . 3.4 La diferencial de una funci´n . . . . . . . . . . o 3.5 El teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 La funci´n exponencial . . . . . . . . . . . . . . o 3.8 Las funcionestrigonom´tricas . . . . . . . . . . e 3.9 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10 Ap´ndice: La trascendencia de e y π . . . . . . e v

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Cap´ ıtulo IV: C´lculo diferencial de varias variables a 157 4.1 Diferenciaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 o 4.2 Propiedades de las funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . 164 4.3 Curvasparametrizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Cap´ ıtulo V: Introducci´n a las variedades diferenciables o 5.1 Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Espacios tangentes, diferenciales . . . . . . . . . . . . . 5.3 La m´trica de una variedad . . . . . . . . . . . . . . . . e 5.4 Geod´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 5.5 Superficies . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 La curvatura de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 196 203 210 215 220 223

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Cap´ ıtulo VI: Ecuaciones diferenciales ordinarias 231 6.1 La integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 6.2 Ecuaciones diferenciales de primer orden ....