Analisis matematico

FORMA HERMÍTICA.

Definición: Forma Hermitica.

Una forma sesquilineal f sobre un espacio real o complejo V se dice hermitiana si
f ( u, v ) f ( v, u ) u, v VProposición 1. Una forma sesquilineal f sobre un espacio V con producto interno es hermitiana si y sólo si T f es autoadjunta, es decir, T f* = T f.
En otras palabras, f es hermitianasi y solo si T f es hermitiana.
Demostración. Supongamos que es autoadjunta, por lo tanto así, es hermitiana.
Recíprocamente, si es hermitiana, entonces , luego
, porlo tanto,
, por consiguiente, , es decir, es autoadjunta.
Proposición 2. Una forma sesquilineal f sobre un espacio complejo V es hermitiana si y solo si f ( u, u ) es realpara cada u Î V.
Demostración. Evidente a partir de la definición.
Sean , entonces
y como entonces . ,
Entonces . Resulta,
Multiplicando la segunda por i ysumando resulta , entonces

Teorema 1. Sea V un espacio con producto interno de dimensión finita n y f una forma sesquilineal hermitiana sobre V. Entonces existe una baseortonormal X en V tal que mX( f )es diagonal real.
Demostración. Según la Proposición 1 es hermitiana, entonces en cualquier base ortonormal de es hermitiana, por lo tanto, eshermitiana, luego es hermitiana, por consiguiente es diagonalizable real .
Matriz Hermitiana
Una matriz Hermitiana (o Hermítica) es una matriz cuadrada de elementos complejos quetiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésimafila e i-ésima columna, para todos los índices i y j:

o, escrita con la traspuesta conjugada A*:

Por ejemplo,

es una matriz hermítica.

Ejemplo forma cuadrática.