analisis Matematico

Cap´tulo 1
ı
´
Numeros
A lo largo de este curso estudiaremos funciones definidas sobre los n´ meros reales, El an´ liu
a
sis de estas funciones implicar´ muy a menudo aplicar propiedades de las operaciones entre
a
n´ meros reales, resolver algebraicamente ecuaciones e inecuaciones, y tener un buen manejo
u
del concepto de valor absoluto.
Este primer cap´tulo tiene como objetivo revisarestos conceptos y definiciones que recoı
mendamos acompa˜ ar con la resoluci´ n de la primer gu´a de ejercicios.
n
o
ı

´
´
´
1.1. Numeros enteros, numeros racionales y numeros reales
Los n´ meros naturales, o enteros positivos, son 1, 2, 3, 4, . . . . Suponemos conocidas las
u
propiedades de las operaciones de suma, resta, producto y cociente entre ellos. Los n´ meros
u
´
−1, −2,−3, −4, . . . , se llaman enteros negativos. El conjunto de numeros enteros consiste

de los enteros positivos, los enteros negativos y el cero.

Adem´ s de los enteros tenemos las fracciones 2 , − 3 ,
a
3
4

negativas y que se escriben como cociente
Dos fracciones

m
n

y

a
b

m
,
n

234
,
17

etc. que pueden ser positivas o

donde m y n son enteros y n es distinto decero.

se dicen equivalentes si mb = an. Por ejemplo,

La suma y producto de dos fracciones

a
b

y

m
,
n

es equivalente a

6
.
10

con b y n distintos de cero, vienen dadas por

las conocidas f´ rmulas
o
a m
an + bm
+
=
,
b
n
bn
7

9
15

´
´
CAPITULO 1. NUMEROS

8

a m
am
·
=
.
b n
bn
´
A las fracciones se las llama numeros racionales, peroconsiderando a las fracciones equivalentes como un mismo n´ mero racional. Todo n´ mero entero es un n´ mero racional porque
u
u
u
m=

m
,
1

pero no es cierta la rec´proca.
ı

Representamos estos n´ meros en una recta. Primero elegimos una unidad de longitud, a la
u
derecha de cero dibujamos los positivos y a la izquierda, los negativos.

-4

-3

-2

-1

0

1

2

34

5

Todos las fracciones equivalentes se representan en un mismo punto de la recta.
A su vez, todos los n´ meros racionales tienen una representaci´ n decimal finita, o infinita
u
o
peri´ dica. Por ejemplo,
o

2
4

= 0,5, y

2
3

= 0,666 . . . .

Finalmente tenemos los n´ meros que pueden representarse por infinitos decimales no peu
√
´
ri´ dicos, como 2 = 1,414 . . . o π =3,14159 . . . , a los cuales llamamos numeros irracionao
´
´
les, que junto con los racionales constituyen los numeros reales, o simplemente numeros. As´,
ı
todo n´ mero racional es real (podemos realizar el cociente y obtenemos un decimal) pero no
u
vale la rec´proca.
ı
´
La suma y el producto de dos n´ meros es otro n´ mero. Si a es distinto de 0, hay un unico
u
u
n´ mero b tal queab = ba = 1 y escribimos b =
u
inverso de a. La expresi´ n
o

1
0

1
a

´
o b = a−1 . Decimos en este caso que b es el

´
a
u
o 0−1 no est´ definida. Si a es cualquier n´ mero, a · 0 = 0.

1.2. Desigualdades
´
Tenemos los numeros positivos, representados a la derecha del cero en la recta real. Si a es
uno de ellos, escribimos a > 0. Las dos propiedades siguientes son b´sicas.
a
P1) Si a y b son n´ meros positivos, tambi´ n lo son su producto ab y su suma a + b.
u
e
´
´
´
P2) Si a es un n´ mero, entonces o a es positivo, o a es cero o −a es positivo y estas posibiliu
dades son mutuamente excluyentes.

9

1.2. DESIGUALDADES

Aunque ya sabemos que 1 > 0 podemos demostrar este hecho a partir de las dos propiedades
de arriba. En efecto, si −1 fuerapositivo, 1 = (−1)(−1) ser´a positivo por P1). Luego el
ı
positivo es 1.

La expresi´ n a > 0 se lee a es mayor que cero, mientras que a ≥ 0 significa que a es mayor
o

o igual que cero.

Dados dos n´ meros a y b diremos que a es mayor que b y escribimos a > b si a − b > 0.
u

Escribimos a < 0 si −a > 0 y a < b si b > a. Por ejemplo 3 > 2 y −3 < −2.

Tambi` n a ≤ b significa que a es...