analisis matematico

An´
alisis 2o de Bachillerato(Ciencias de la Naturaleza)
Tabla de Derivadas
funci´on
y=k
y = axn
y =u±v
√
y= nu

y = uv
y = eu
y = cos u
y = cot u

derivada
y =0
y = naxn−1
y =u ±v
u
y = √
n
n un−1
u
y =
u
y = uv (v ln u) + vuv−1 u
y = u eu
y = −u sin u
y = −u csc2 u

y = sec u

y = u sec u tan u

y = ln u

y = arccos u

u
1 − u2
Regla de la Cadena
y = −√

funci´on
y=x
y = aun
y = uv
u
y=
vderivada
y =1
y = naun−1 u
y = u v + uv
u v − uv
y=
v2
u
y = loga u
y =
u ln a
y = au
y = u au ln a
y = sin u
y = u cos u
y = tan u
y = u sec2 u
y = csc u
y = −u csc u cot u
u
y = arcsin u
y =√
1 − u2
u
y = arctan u
y =
1 + u2
y = f (g(x)) y = g (x)f (g(x))

Representaci´
on gr´
afica de funciones
Hay que seguir los siguientes pasos:
1o Dominio
3o Ptos. Corte

Buscar Puntos Singulares
Corte con OX :f (x) = 0
Corte con OY : x = 0
Verticales : x = p
lim f (x) = ±∞

2o Signo
4o Simetr´ia :

6a Monoton´ia :

Creciente : f (x) > 0
Decreciente : f (x) < 0
Si f (p) = 0 Punto Cr´itico :
M´aximo si f (p) < 0
M´inimo si f (p) > 0
Pto. Inflexi´on si
f (p) = 0 y f (p) = 0

8a Curvatura :

C´oncava : f (x) > 0 ∪
Convexa : f (x) < 0 ∩
Si f (p) = 0 Punto Cr´itico :
Pto. Inflexi´on si
de C´oncava aConvexa
de Convexa a C´
oncava

x−→ p

Horizontales : y = p
lim f (x) = p

5o As´intotas :

x−→±∞

Si ∃ y = p =⇒ No Oblicuas
Oblicuas : y = mx + n
f (x)
m = lim
x−→∞ x
n = lim (f (x) − mx)

f (x) > 0 o f (x) < 0
Par : f (−x) = f (x) con OY
Impar : f (−x) = −f (x) con O

x−→∞

7a

M´aximos y
M´inimos

9a Periodo :

M´aximo :
de creciente a decreciente
M´inimo :
de decreciente a creciente
f (x + T ) = f(x)
1

Tabla de Integrales Inmediatas
Tipo

Simple
xa+1
xa dx =
a+1
1
dx = ln |x|
x
ex dx = ex

Compuesta
f a+1
f a · f dx =
a+1
f
dx = ln |f |
f
ef · f dx = ef

Seno

ax
ln a
cos x dx = sin x

af
ln a
f · cos f dx = sin f

Coseno

sin x dx = − cos x

f · sin f dx = − cos f

Tangente

sec2 dx = tan x

f · sec2 f dx = tan f

(1 + tan2 x) dx = tan x

f · (1 + tan2 f ) dx = tan f

1
dx = tan x
cos2x
csc2 dx = − cot x

f
dx = tan f
cos2 f
f · csc2 f dx = − cot f

(1 + cot2 x) dx = − cot x

f · (1 + cot2 f ) dx = − cot f

Potencial a = −1
Logar´itmica
Exponencial

ax dx =

Exponencial

Cotangente

Arco seno

Arco coseno

Arco tangente

Neperiano − Arcotangente

1
dx = − cot x
sin2 x
1
√
dx = arcsin x
1 − x2
1
x
√
dx = arcsin
2
2
a
a −x
−1
√
dx = arccos x
1 − x2
x
−1
√
dx = arccos
2
2
a
a−x
1
dx = arctan x
1 + x2
1
x
dx = arctan
2
2
a +x
a
Mx + N
dx = ln ± arctan x
ax2 + bx + c

af · f dx =

f
dx = − cot f
sin2 f
f
dx = arcsin f
1 − f2
f
f
dx = arcsin
2
2
a
a −f
−f
dx = arccos f
1 − f2
f
−f
dx = arccos
2
2
a
a −f
f
dx = arctan f
1 + f2
f
f
dx = arctan
2
2
a +f
a
M =0
Si
ax2 + bx + c irreducible

Definici´
on de Derivada
f (a + h) − f (a)
f (x + h) − f (x)
f (x) = lim
f (a) = lim
h−→0
h−→ 0
h
h
Continuidad: Una funci´on f es continua en un punto a si
lim f (x) = lim f (x) = f (a)

x−→ a−

x−→ a+

2

• Si lim f (x) = lim f (x) =⇒ Discontinua no evitable. (La funci´on
x−→ a−

x−→ a+

pega un salto en ese punto)
• Si

lim f (x) =

lim f (x) = f (a) =⇒ Discontinua evitable. (La

x−→ a−

x−→ a+

funci´on tiene un agujero en ese punto)
Derivabilidad
Una funci´on f es derivable enun punto a si f (a− ) = f (a+ ).
f (a− ) = lim

h−→ 0−

f (a + h) − f (a)
f (a + h) − f (a)
, f (a+ ) = lim
+
h
h
h−→ 0

Si f es una funci´
on derivable en un punto a, entonces f tiene que
ser continua en a.
Teorema de Weierstrass
Sea f una funci´on continua en un intervalo cerrado [a, b]. Entonces f alcanza
un m´aximo y un m´ınimo en este intervalo.
Teorema de Darboux
Si f es una funci´oncontinua en [a, b], entonces f toma en dicho intervalo
todos los valores comprendidos entre el m´aximo y el m´ınimo.
Teorema de Bolzano
Si f es una funci´on continua en el intervalo cerrado y no nulo [a, b] (a < b)
y la funci´on toma valores de distinto signo en los extremos de este intervalo
(Si signo de f (a) es positivo entonces signo de f (b) es negativo o biceversa).
Entonces la funci´on pasa...