Analisis matricial

Análisis Antezana y Demetrio Stojanoff

An´lisis Matricial a

Buenos Aires, Octubre de 2008.

Prefacio
El an´lisis matricial (AM) es una continuaci´n natural del ´lgebra lineal, pero considerando a o a que el cuerpo de escalares son los n´meros reales o los complejos, y con una mirada basada u en la problem´tica de las teor´ de espacios de Hilbert y de sus operadores acotados. a ıas Muchosproblemas del an´lisis, la geometr´ diferencial, el an´lisis funcional, los sistemas a ıa a din´micos, la f´ a ısica te´rica y otras importantes teor´ pueden “bajarse” al caso de matrices. o ıas, Y eso sin mencionar todas las ramas de la matem´tica aplicada, que suelen tener a este tipo de a reducciones como herramienta principal. En general, poder reducir y reformular un problema al casomatricial es un ´xito, porque es mucho m´s viable resolver un problema de matrices e a que el problema de origen. Por todo lo anterior, mencionar aplicaciones del AM es innecesario. Cualquier matem´tico a quiere poder aplicarlo, y trata sistem´ticamente de hacerlo. Porque es un contexto donde las a cuentas se pueden hacer (o la mayor´ cree a priori que deber´ poder hacerse). M´s a´n, ıa ıan a u cuando lareducci´n a matrices de un problema P sigue siendo dif´ o ıcil, se puede concluir que P ten´ una dificultad intr´ ıa ınseca. Pero con dificultad o sin ella, el tema es c´mo resolver P en o matrices. Para poder hacerlo, hay que desarrollar a fondo una teor´ de matrices, o al menos una ıa extensa serie de herramientas para trabajar con ellas, que pueda resolver los inmumerables problemas que le“caen” de arriba. Podr´ decirse que eso es el AM. ıa Lo m´s interesante del AM es que es el contexto m´s basico (un alumno de segundo a a a˜o de la licenciatura ya puede entender la mayor´ de los enunciados) en el que se pueden n ıa plantear problemas matem´ticos bien dif´ a ıciles, muchos de ellos no resueltos a´n. Pero para u entender a fondo este tipo de problemas, sus ramificaciones, y las t´cnicas quese suelen e aplicar para resolverlos, hace falta hacer un curso espec´ ıfico de AM, que pueda ser atendido tanto por matem´ticos formados como por estudiantes de la licenciatura. Otra particularidad a remarcable, es que con ese solo basamento, alcanza para leer y entender (y porqu´ no hacer) e una gran cantidad de publicaciones actuales. Un t´ ıpico trabajo final para un curso de AM, es estudiar unpaper de los ultimos 2 o 3 a˜os del tema. Y en muchos casos, con los contenidos ´ n de este texto se tienen (casi) todas las herramientas para poder entenderlo a fondo. Por otra parte, como toda teor´ matem´tica, el AM tiene su problem´tica propia. El tema ıa a a m´s t´ a ıpicamente matricial son las desigualdades, que involucran normas, autovalores, valores singulares, determinantes, trazas, etc.El estudio de desigualdades de matrices y operadores es de una gran sutileza y forma una especie de mundo aparte. Sus especialistas son unos tipos especiales, una especie de gremio de artesanos. Las t´cnicas que se usan suelen ser intrincadas e

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y de un gran ingenio. Se aplican ideas de toda la matem´tica, pero la teor´ tiene sus reglas a ıa propias y toda una gama de herramientas ym´todos espcec´ e ıficos. Una de esas herramientas, fundamental y no muy conocida, es otro tema central para el AM: La teor´ de mayorizaci´n ıa o (de vectores y matrices), y sus m´ltiples ramificaciones. Esta teor´ elemental pero dif´ u ıa, ıcil, est´ poco difundida entre los matem´ticos, por lo que ha sido y sigue siendo redescubierta a a innumerables veces en distintas ´reas, muchas veces conterminolog´ ad hoc. Si bien la a ıas n mayorizaci´n aparece como una forma de comparar vectores de R , cuando se la piensa en o vectores de autovalores o de valores singulares, se percibe r´pidamente que es una noci´n a o intr´ ınsecamente relacionada con la teor´ de matrices. Estos dos aspectos: mayorizaci´n y ıa o desigualdades, son desarrollados con profundidad en este texto. Una rama muy...