Analisis Modal

Análisis sísmico modal espectral
El método modal espectral requiere como dato de partida para su aplicación conocer los
modos y frecuencias naturales del sistema de múltiples grados de libertad, es decir que se
conocen los valores de las frecuencias ωi
y de los modos Φi
.
Las ecuaciones de movimiento de un sistema de N grados de libertad dinámicos (N GLD)
para la excitación sísmicason:
K U t M U t C U t u t M B                S
 
 

   
(6)
El vector de carga equivalente a la acción sísmica es el dado en el segundo miembro de la
ecuación (6). Este vector representa la carga dinámica equivalente a la acción sísmica, que
debe utilizarse para calcular la respuesta en el tiempo U t( )

cuando se define como dato que
describela excitación sísmica al histograma de las aceleraciones ( )
S
u t  . Para resolver la ec. (6)
se puede utilizar el método de descomposición modal ya visto para cualquier otro tipo de
cargas dinámicas P t( )

en el Capítulo 5 de la parte “Dinámica Estructural”. Este análisis,
válido siempre que el sistema sea lineal y elástico, no será abordado en más detalle ya que no
difiere ennada al correspondiente a solicitaciones dinámicas en general ya visto.
De todos modos, el concepto de descomposición modal resulta de utilidad para el análisis
sísmico en el caso general de la ec. (6). Se propone la descomposición modal en la forma:
   
1
N
i i
i
U t q t

  
 
(7)
donde qi
(t) es el “desplazamiento generalizado” del modo i.Substituyendo la ec. (7) en la ec. (6) y premultiplicando ambos miembros de la ec. (6) por
la transpuesta del vector Φi
, que representa los desplazamientos modales del modo “i”, se
obtiene la expresión de la ecuación de equilibrio dinámico del modo “i” en la forma:
       
T T T T
                  
i i i i i i i i i S i
K q t M q t C q t u t M B   
          
(8) 4
Introduciendo la notación:
T
K K i i i
   
  
,
T
M M i i i
   
  
, y
T
C C i i i
   
  
, y
dividiendo ambos miembros de la ec. (8) por Mi
se obtiene:
         
2
2
T
i i i i i i S i i
               q t q t q t u t M B M   
  
(9)
Comparando la ecuación (9) con lacorrespondiente a la excitación sísmica de un sistema
de 1 GLD:
       
2
2
S
           u t u t u t u t    (10)
surge que ambas expresiones presentan una correspondencia directa en todos sus términos en
los respectivos valores de q(t) y de u(t), salvo el factor  
T
  
i i
M B M
  
que aparece en la ec.
(9) y no aparece en la ec. (10). Estefactor que se expresa:
 
T
    
i i i
M B M
  
(11)
se denomina “factor de participación modal del modo i”.
De este análisis surge que si se conoce el desplazamiento máximo que ocurre en un
sistema de 1 GLD, denominado como Sd, el valor máximo de la coordenada modal respectiva
qi
(t),
i,max
q , será igual al producto
i d
  S :
i i d ,max
q S   (12)
Por lo tanto, los desplazamientos relativos máximos asociados con el modo i están dados
por la expresión:
U q S
i i i i d i ,max ,max
     
  
(13)
De manera similar, el vector de pseudo-aceleración
,max
s
Ui


debido al modo i, teniendo en
cuenta que
i i a ,max
q S     , resulta:
,max ,max
s
U q S

i i ii a i
      
  
(14)
Como ya se indicó anteriormente, para un sistema de 1 GLD, el producto de la pseudoaceleración de cada grado de libertad dinámico por su respectiva masa representa la fuerza
que produce como respuesta estática el valor de la máxima respuesta dinámica del modo, es
decir que el vector de cargas equivalentes Pi eq ,

estará dado...