analisis multivariado

Correlación lineal
Objetivo: estudiar la posible relación lineal entre dos variables x e y con el
propósito de ajustar un modelo lineal para predecir la variable y, a partir de la
variable x.
Objetivo final

y = f(x)

X: variable independiente o explicativa
Y: variable dependiente o respuestas
Correlación:
El objetivo es medir la magnitud de la asociación lineal entre dos variables.Covarianza: Sean X e Y dos variables aleatorias cuyas medias son E(X ) y E(Y)
y cuyas varianzas son V(X ) y V(Y) respectivamente. Se define la covarianza
entre las variables aleatorias X e Y por la expresión:
Cov(X ,Y) = E [((X − E(X )) ((Y − E(Y))] = E[ X Y ] − E(X ) E (Y)
Observaciones:
1) Para dos variables aleatorias X e Y se tiene que:
V (X +Y) = V (X ) +V (Y ) + 2Cov(X ,Y)
V (X −Y ) =V (X ) +V (Y ) − 2Cov (X ,Y )
2) Si X e Y son variables aleatorias independientes, entonces: E[X Y]
=E(X)E(Y) y por lo tanto Cov(X ,Y ) = 0 . En consecuencia en las fórmulas
anteriores, resulta que:
V (X +Y ) = V (X ) +V (Y ) y V (X −Y ) = V (X ) +V (Y )
3) Si Cov(X ,Y ) > 0 , entonces valores altos de X están asociados con valores
altos de Y y valores bajos de X están asociados con valoresbajos de Y .
4) Si Cov(X ,Y) < 0 , entonces valores altos de X están asociados con valores
bajos de Y y valores bajos de X están asociados con valores altos de Y .
Comentario: La covarianza no es útil para evaluar la fuerza de la relación entre
las variables aleatorias X e Y debido a que su valor depende de las unidades
en las que estén medidas X e Y. Afortunadamente es simple corregir lacovarianza, dividiéndola por el producto de las desviaciones estandar de X e Y.
El resultado de ello se denomina Coeficiente de Correlación Lineal de Pearson.
Coeficiente de Correlación Lineal: Sean X e Y dos variables aleatorias cuyas
medias son E(X ) y E(Y) y cuyas varianzas son V(X ) y V(Y) respectivamente.
Se define el Coeficiente de Correlación por la expresión siguiente:

Observaciones:1) −1 ≤ ρ (X ,Y ) ≤ 1
2) ρ (X ,Y ) = 1 implica correlación lineal positiva perfecta
3) ρ (X ,Y ) = −1 implica correlación lineal negativa perfecta
4) ρ (X ,Y ) = 0 implica que no existe asociación lineal entre X e Y
El Coeficiente de Correlación ρ (X,Y) es un parámetro poblacional desconocido
y por lo tanto debemos estimarlo a partir de datos muéstrales
(x1,y1),(x2,y2),….(xn,yn),obteniéndose entonces el coeficiente de correlación
muestral r(X ,Y) :

El coeficiente de correlación muestral r(X ,Y) es útil como medida descriptiva de
la
intensidad de la relación (lineal) en una muestra de n pares de valores
(xi, yi) con i =1, 2,....., .
Ejemplo:

Aplicando estos resultados en la fórmula anterior resulta: r(X ,Y) = 0.908

Inferencias sobre el Coeficiente de Correlación:
1)Contraste de Hipótesis: (Test de independencia)

Un estadístico inferencial (pivot) para resolver esta prueba de hipótesis esta
dado por:

siempre que X e Y tengan distribución conjunta Normal. Dado que esta prueba
de independencia entre las variables X e Y es bilateral se rechaza la hipótesis
nula y se confirma que X e Y están relacionadas si:
En el ejemplo: r(X,Y) = 0.908 ; T0 =0.85 = ;t 0.975;10 =2.23 y por lo tanto se
rechaza H0 y así las variables X e Y están relacionadas significativamente al 5
%.
2) Contraste de Hipótesis:

Usamos el hecho de que el estadístico

se distribuye aproximadamente normal con una media y una desviación
estándar dadas por:

El estadístico del contraste de hipótesis es:

En el ejemplo si nos interesa contrastar:

Al 5 % designificación tendríamos una prueba unilateral:

Conclusión: no existe evidencia al 5 % para concluir que la correlación
poblacional es mayor que 0.80.

Correlación estadística
La correlación estadística determina la relación o dependencia que existe entre
las dos variables que intervienen en una distribución bidimensional. Es decir,
determinar si los cambios en una de las variables influyen en...