Analisis Numerico , Ecuaciones Diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES – PROBLEMA DE VALOR INICIAL

Introducción:
Podemos describir en forma simplificada, el movimiento de un péndulo por
medio de la ecuación diferencial de segundo orden:
d 2 g
 sen  0
dt 2 L

Ө

L

Donde L es la longitud del péndulo, g la aceleración de la gravedad y Ө es el
ángulo que forma el péndulo en la posición vertical o de equilibrio. Si ademásespecificamos la posición del péndulo al momento de iniciar el movimiento
Ө(t0) = Ө0 y su velocidad en ese momento Ө´( t0) = Ө´0, tendremos lo que se
conoce con el nombre de problema de valor inicial.
Para simplificar este problema a uno lineal de valor inicial, para valores
pequeños de Ө, podemos emplear la aproximación Ө  sen Ө:
d 2 g
   0,
Ө(t0) = Ө0 , Ө´( t0) = Ө´0
dt 2 L
Podemosresolver este problema por medio de un método estándar de
ecuaciones diferenciales. Para valores mayores de Ө, hay que utilizar métodos
de aproximación.
Recordemos que las ecuaciones diferenciales sirven para modelizar problemas
de ciencias e ingeniería que requieren el cambio de una variable respecto a
otra. En la mayoría de los casos hay que resolver un problema de valor inicial,
es decir,resolver una ecuación diferencial que satisface una condición inicial.
En general, la ecuación diferencial que modela el problema resulta demasiado
complicada para resolverla con exactitud, por lo que se recurre a dos
procedimientos para aproximar la solución. El primero consiste en simplificar la
ecuación diferencial de modo que podamos resolverla exactamente y utilizar
después la solución dela simplificada para aproximar la solución de la
ecuación original. El segundo, se vale de métodos para aproximar la solución
del problema original. Este procedimiento es el que se emplea por lo regular,
pues los métodos de aproximación dan buenos resultados y una información
realista sobre el error.

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Revisando algunos conceptos:
Una ecuación diferencial es una ecuación en la queintervienen derivadas de
una o más funciones.
Dependiendo del número de variables independientes respectos de las que se
deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:



Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen
derivadas respecto a una sola variable independiente.
Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas
respecto a dos o más variables.Ejemplos:




y´= 2x +1 es una ecuación diferencial ordinaria, donde y = f(x) es la
dy
variable dependiente, x la variable independiente e y´
es la derivada
dx
de y con respecto a x.
dy dy
La expresión

 0 es una ecuación en derivadas parciales.
dx dv

Una ecuación diferencial de orden n:
F (X, Y, Y’, Y’’,… Yn) = 0
Admite como solución general una función:
G (X, Y, C1,C2, … , Cn) = 0
Con n constantes arbitrarias.
Hay tres tipos de soluciones para una ecuación diferencial:





Solución General: Una solución de tipo genérico, expresada con una o
más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un
orden de infinitud de acuerdo a la cantidad de constantes (una constante
corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a unafamilia doblemente infinita, etc).
Solución Particular: Un caso particular de la solución general, en
donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.
Solución Singular: Una función que verifica la ecuación, pero que no se
obtiene particularizando la solución general.

La solución general de la ecuación diferencial genera una familia de curvas
planas para valores particularesde las constantes Ci

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Cada una de estas curvas
es una solución particular
a la ecuación diferencial,
sujeta a n condiciones
independientes.

Según como se establecen esas condiciones independientes se está frente a
un problema de valor inicial (PVI) o frente a un problema de valores frontera
(PVF).
En el primer caso: PVI
G (X, Y) = 0 representa una
solución particular a la...