Analisis Numerico trabajo

 República Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Superior
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Escuela: 45 Sección: J Análisis Numérico
















Profesor:Alumno:
Ing. Erika Zambrano Javier Maurera C.I: V-21.234.677

29 de julio de 2014
Integración numérica
La integración numérica se basa en la interpretación de la integral como área encerrada bajo la curva.
La integración numérica permite evaluar la integral definida de una función continua en un intervalo cerrado con laexactitud deseada.
Método del trapecio
La regla del trapecio es uno de los métodos más utilizados para calcular aproximaciones numéricas de las integrales definidas.
Se puede decir que es la primera de las formulas cerradas de la integración de Newton Cotes.
Corresponde al caso donde el polinomio de la ecuación es de primer grado:

Tal que:

El área bajo ésta línea recta es una aproximación dela integral f(x) entre los límites a y b:

El resultado de la integración es la regla del trapecio:





Ejemplo:
Integrar numéricamente la siguiente función desde a= 0 hasta b= 0.8:

Solución:
Evaluar la función en los límites:
F(0)= 0.2
F(0.8)= 0.232
Aplicando la formula (4) de los trapecios.

Geométricamente, es equivalente a aproximar el área del trapezoide bajo la línea recta que conectaf(a) y f(b).
La integral se representa como:
I ≈ ancho x altura promedio

Error de la regla trapezoidal:
Una estimación para el error de truncamiento local de una sola aplicación de la regla trapezoidal es:

Donde ξ está en algún lugar en el intervalo de a a b.
Aplicación múltiple de la regla trapezoidal:
Una manera de mejorar la exactitud de la regla trapezoidal es dividir el intervalo deintegración de a a b en un número n de segmentos y aplicar el método a cada uno de ellos. Las ecuaciones resultantes son llamadas fórmulas de integración de múltiple aplicación o compuestas.
Hay n+1 puntos base igualmente espaciados (x0,x1,x2,...,xn). En consecuencia hay n segmentos de igual anchura: h = ( b – a )/ n.
Si a y b son designados como x0 y xn respectivamente, la integral total se representarácomo:

Al sustituir la regla trapezoidal para cada integral:

Y mediante agrupación de términos:

Usando h = (b – a)/n y expresándola en la forma general:

Un error para la regla trapezoidal de múltiple aplicación se puede obtener al sumar los errores individuales de cada segmento, para dar:

Donde f’’(ξi) es la segunda derivada en un punto ξi localizado en el segmento i. Este resultado se puedesimplificar al estimar la media o valor promedio de la segunda derivada para todo el intervalo.

Por tanto Σf’’(ξi) ≈ nf’’. Entonces la ecuación del error trapezoidal puede escribirse como:

Así, si el número de segmentos se duplica, el error de truncamiento disminuirá a un cuarto.
Ejemplo 2

Primero se obtiene h, de los límites de la integral que representan a y b y para n=6 queda: 

Y ahora sesustituye en la fórmula

y queda:

En este caso no se comete ningún error en el cálculo (el resultado es exacto) porque la función sujeta a integración es lineal.
REGLAS DE SIMPSON.
Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez más finos, otra manera de obtener una estimación más exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos.
A lasformulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llama reglas de Simpson.
La regla o método de Simpson (nombrada así en honor de Thomas Simpson) y a veces llamada regla de Kepler es un método de integración numérica que se utiliza para obtener la aproximación de la integral:

Considérese la función ƒ(x) en el intervalo [a, b] y x0 = a, x1 = x0 + h, x2 = b, donde

Con los...