Analisis numerico

Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias UNAM

NOTAS DE ANALISIS MATEMATICO
Dr. Joaquín Curiel

PREFACIO En el capítulo 0, se demuestra que el sistema de los reales es un campo ordenado, completo. En el capítulo I, se presenta primeramente, uno de los ejemplos más importantes de espacio métrico, el espacio lineal normado. En la sección 1, presentamos el concepto de espacio linealsobre el campo de los reales, y algunos ejemplos. En la sección 2, introducimos la definición de espacio lineal normado. En la sección 3, definimos el concepto de espacio con producto interno, el cual es un caso particular muy importante de espacio lineal normado. n espacio con producto interno que tiene dimensión finita es un espacio euclidiano y un espacio con producto interno de dimensióninfinita es un espacio de Hilbert. En la quinta y última sección, se introduce la noción de métrica o distancia en un espacio lineal normado. En el capítulo II, estudiamos los espacios métricos. En la sección 1 del capítulo II, damos la definición de espacio métrico y presentamos algunos ejemplos. En la sección 2, se estudian algunas propiedades de espacios métricos curvos En la sección 3, se estudianlos conjuntos abiertos. En la sección 4, estudiamos algunas propiedades de los conjuntos cerrados. En la sección 5, se demuestra el teorema de celdas nidificadas, el cual afirma que la intersección de una sucesión decreciente de intervalos cerrados, no vacíos, es no vacía. En esta misma sección demostramos el teorema de Bolzano-Weierstrass, que afirma que todo conjunto infinito y acotado de númerosreales, tiene un punto de acumulación. En la sección 6, se estudian los conjuntos compactos, en un espacio métrico. Todo conjunto compacto es cerrado y acotado. Un subconjunto cerrado de un conjunto compacto, es compacto. En la sección 7, se estudian los conjuntos compactos de números reales. El teorema principal de esta sección es el teorema de Heine-Borel, el cual afirma que un conjunto denúmeros reales es compacto, si y sólo si, es cerrado y acotado. Una consecuencia importante del teorema de Heine-Borel, es el teorema de intersección de Cantor. En la sección 8, se estudian los conjuntos conexos
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En el capítulo III, estudiamos la convergencia de una sucesión en un espacio métrico, y definimos el concepto de espacio métrico completo. En la sección 1, se estudian las sucesiones enun espacio métrico En la sección 2, consideramos las sucesiones en un espacio lineal normado. Se demuestra que toda combinación lineal de sucesiones convergentes es convergente y que el producto interno de dos sucesiones convergentes es convergente. En la sección 3, introducimos el concepto de sucesión acotada en un espacio lineal normado. En la cuarta sección se estudian las sucesionesconvergentes. En la quinta sección se estudian las sucesiones de Cauchy. En la sexta sección se estudian los espacios de Banach, es decir, los espacios lineales normados completos. En la sección 7, se demuestra que el espacio de los reales R, es completo, es decir, que toda sucesión de Cauchy de números reales, es convergente. En la sección 8, se estudian los espacios métricos completos . En la sección 9,estudiamos el comportamiento de los puntos fijos en un espacio métrico completo. En el capítulo IV se estudia el concepto de función continua. En la sección 1 estudiamos las propiedades de la funciones continuas en un espacio métrico En la sección 2, estudiamos la continuidad de funciones definidas en espacios lineales normados. En la sección 3 presentamos algunas propiedades de las funcioneslineales. En la sección 4, estudiamos la continuidad de las funciones reales. Una función real continua sobre un conjunto compacto, es acotada y toma sus valores extremos (máximo y mínimo). En la sección 5, estudiamos la continuidad uniforme de las funciones definidas en espacios métricos. Toda función real continua sobre un conjunto compacto es uniformemente continua En el capítulo V estudiamos...