Analisis Numerico

TALLER No.2 ANALISIS NÚMERICO

1. Para la matriz A=243-4-6-3331 determine PAλ, los valores propios de A y ρA

Solución

PAλ=detA- λI

A-λI= 243-4-6-3331- λ000λ000λ= (2- λ)43-4(-6- λ)-333(1- λ)
detA- λI=(2- λ)43-4(-6- λ)-333(1- λ)
= 2-λ-6-λ-331-λ-(-4)433(1-λ)+(3)43-6-λ-3
=2-λ-6-λ1-λ--33+441-λ-33+3[4-3-3-6-λ]
=2-λ-6+6λ-λ+λ2+9+44-4λ-9+3[-12+18+3λ]=2-λλ2+5λ+3+4-4λ-5+3[3λ+6]
=2λ2+10λ+6-λ3-5λ2-3λ-16λ-20+9λ+18
=-λ3-3λ2+4
De esta manera tenemos que: PAλ= 4-3λ2-λ3

Los valores propios de A son:
λ3+3λ2-4=0
1 | 3 | 0 | -4 | 1 |
↓ | 1 | 4 | 4 | |
1 | 4 | 4 | 0 | λ-1 |

Por división sintetica tenemos:
λ-1(λ2+4λ+4)=0
(λ-1)(λ+2)(λ+2)=0
λ1=1 , λ2=-2, λ3=-2
ρA=maxλ1, λ2, λ3=max1, -2, -2= 2

2. Para la matriz A= 324202423 determine A2Solución
A2=ρ(ATA)
ATA= 324202423 324202423=29142814814281429
ρ(ATA)=detATA-λI=29142814814281429-λ000λ000λ=29-λ1428148-λ14281429-λ
=29-λ8-λ29-λ-196-141429-λ-392+28[196-288-λ]
=29-λ232-8λ-29λ+λ2-196-14406-14λ-392+28196-224+28λ
=29-λλ2-37λ+36-14-14λ+14+2828λ-28
=29λ2-1073λ+1044-λ3+37λ2-36λ+196λ-196+784λ-784
=-λ3+66λ2-129λ+64
Los valores propios de ATA y por división sintentica son:λ3-66λ2+129λ-64=0
1 | -66 | 129 | -64 | 64 |
↓ | 64 | -128 | 64 | |
1 | -2 | 1 | 0 | λ-64 |

λ-64(λ2-2λ+1)=0
λ-64λ-1λ-1=0
λ1=64 , λ2=1, λ3=1
ρATA =maxλ1, λ2, λ3=max64, 1, 1= 64
A2=64=8

3. Aplique el método de eliminación Gaussiana para resolver el sistema:

1250 3-114 430-1 6028x1x2x3x4=221289
Solución
1321463 0510402-18 221289-2f1+f2→f2-5f1+f3→f3 → 130-746-5-120-1404-20-28-18 22-32-1029 -2f2+f3→f347f2+f4→f4→
130-746-5-120000-10-4-27787 22-32-386572770f3+f4 → 130-746-5-120000-10-409435 22-32-3818835
x1+3x2+4x3+6x4=22 (1)
-7x2-5x3-12x4=-32 (2)
-10x3-410x4=-3810 (3)
945 x4=1885 4
x4=1885945=2 → x4=2 ; -10x3-4102=-3810 ; x3=3-7x2-53-122=-32 ; x2=-1
x1+3-1+43+6(2)=22 ; x1=1

4. Aplique el método iterativo de Jacobi para resolver el sistema:

5x1-x2+x3=10
2x1+8x2-x3=11
-x1+x2+4x3=3

Use como vector inicial x(0)=<0,0,0> y consigne los resultados en la tabla. Concluya con base en los resultados obtenidos, cual es la solución x exacta del sistema y determine: EA=x-x12∞. Nota: Trabaje con 8 dígitos de precisión
Solución
Representación matricial:

5-1128-1-114x1x2x3=10113
x1=0+x25-x35+2
x2=-x14+0+x38+118
x3=x14-x24+0+34
T
T
C
C
X
X
X
X
x1x2x3=015-15-1401814-140x1x2x3+211834

Realizando las iteracciones, para K=0:
x1(1)=0+x2(0)5-x305+2=150-150+2=2
x2(1)=-x104+0+x308 +118=-140+180+118=118
x3(1)=x1(0)4-x204+0+34=140-140+34=34
Las demasiteraciones se calculan con la siguiente ecuación y se consignan en la tabla:




k | x1(k+1) | x2(k+1) | x3(k+1) |
0 | 2,00000000 | 1,37500000 | 0,75000000 |
1 | 2,12500000 | 0,96875000 | 0,90625000 |
2 | 2,01250000 | 0,95703125 | 1,03906250 |
3 | 1,98359375 | 1,00175781 | 1,01386718 |
4 | 1,99757813 | 1,00583496 | 0,995458984|
5 | 2,0020752 | 1,00003784 | 0,997935791 |
6 | 2,00042041 | 0,99922318 | 1,000509338 |
7 | 1,99974277 | 0,99995856 | 1,000299309 |
8 | 1,99993185 | 1,00010172 | 0,999946051 |
9 | 2,00003113 | 1,00001029 | 0,999957532 |
10 | 2,00001055 | 0,99998691 | 1,00000521 |
11 | 1,99999634 | 0,99999801 | 1,00000591 |
12 | 1,99999842 | 1,00000165 | 0,99999958 |

luego la solución exacta esx=211
EA=x-x12∞=maxx1-x112;x2-x212;x3-x312
EA= max2-1.99999634,1-0.99999801,1-1.000005911
EA= max0.00000366,0.00000199,-0.00000591
EA=max0.00000366 , 0.00000199 ,0.00000591=0.00000591
EA=5.91×10-6
5. Pruebe que si se aplica el método de Gauss-Seidel para resolver el sistema:

x1-2x2+2x3=-1
-x1+x2-x3=0
-2x1-2x2+x3=-5
El método no converge para cualquier x0 mostrando que ρTG≥1...