analisis numerico

6.1_ METODO DE LA SERIE DE TAYLOR

Aplicar el método de Taylor para resolver ecuaciones diferenciales, que como se verá es la misma solución que proporciona la solución en series de potencias (o de coeficientes indeterminados). Esto es, si la solución en series de potencias arroja la solución en una formula cerrada, se tendrá entonces que la solución dada por los polinomios de Taylor tambiénentregará dicha so-lución en forma cerrada.
Por lo tanto, en el caso de solución en puntos ordinarios, debería de enseñarse el método de desarrollo de Taylor, pues viene a ser mucho más cómodo para un estudiante de ecuaciones diferenciales, pues cuando se trabaja con solución mediante series de potencias, el acomodo de los índices de la sumatoria siempre es un poco confuso para ellos. Sinembargo ambos métodos son en esencia los mismos.
Veamos en que consiste cada método.




Ya que no hay funciones elementales para calcular la integral anterior, por lo tanto no se podría escribir la solución en forma cerrada y por consiguiente tendríamos que conformarnos con alguna aproximación numérica.

6.2_ METODO DE EULER Y EULER MEJORADO
Una de las técnicas más simples para aproximarsoluciones de una ecuación diferencial es el método de Euler, o de las rectas tangentes.

La primera derivada proporciona una estimación directa de la pendiente en 





Donde    es la ecuación diferencial evaluada en  y  . Tal estimacion podra sustituirse ne la ecuación:

 

Esta fórmula es conocida como el método de Euler (o de Euler-Cauchy o de punto medio). Se predice un nuevo valorde por medio de la pendiente (igual a la primera derivada en el valor original de x) que habrá de extrapolarse en la forma lineal sobre el tamaño de paso h.
Análisis de error para el método de Euler.

La solución numérica de los EDO involucra dos tipos de error:

1.- Errores de truncamiento, o discretizacion, causados por la naturaleza de las técnicas empleadas para aproximar los valores dey.

2.- Errores de redondeo, que son el resultado del número limite de cifras significativas que puede retener una computadora.

Los errores de truncamiento se componen de dos partes. La primera es un error de truncamiento local que resulta de una aplicación del método en cuestión sobre un paso sencillo. La segunda es un error de truncamiento propagado que resulta de las aproximacionesproducidas durante los pasos previos. La suma de los dos es el total, o error de truncamiento global.

Se puede obtener cierto conocimiento acerca de la magnitud y propiedades del error de truncamiento al derivar el método de Euler directamente de la expansión de la serie de Taylor. Para ello, observe que la ecuación diferencial sujeta a integración será de la forma general:



Donde  y  y  sonlas variables independiente y dependiente, respectivamente. Si la solución tiene derivadas continuas, puede representarse por una expansión de la serie de Taylor con respecto a los valores de inicio cómo:



Donde  termino remanente, definido como:



Donde E esta en algún lugar en el intervalo de   a  . Es posible desarrollar una forma alternativa al sustituir la ecuación en lasecuaciones para obtener:



Donde  especifica que el error de funcionamiento local es proporcional al tamaño de paso elevado a la potencia esima.

Al comparar las ecuaciones puede verse que el método de Euler corresponde a la serie de Taylor hasta e incluyendo el termino . Además, la comparación indica que ocurre un error de truncamiento porque aproximamos la solución verdadera mediante un numerofinito de términos de la serie de Taylor. De esta forma truncamos, o dejamos fuera, una parte de la solución verdadera. Al restar la ecuación se tiene:



Donde Et = error de truncamiento local verdadero. Para h lo suficientemente pequeña, los errores en los términos de la ecuación disminuyen con frecuencia en tanto aumenta el orden y el resultado a menudo es representado como:



O...