Analisis numerico

OBJETIVO
Aplicar los conocimientos recibidos en esta materia para analizar y resolver problemas de ingeniería mediante métodos numéricos y su instrumentación computacional, estimando la precisión en los resultados obtenidos.

INTRODUCCIÓN
Este es el trabajo final del curso de Análisis Numérico, el cual nos plantea un total de tres ejercicios que tendremos que resolver aplicando losconocimientos adquiridos a lo largo del curso y las herramientas tecnológicas para los cálculos complicados. Todo esto a fin de establecer una aplicación real de los métodos numéricos y su error en los cálculos, siendo este un factor determinante en la eficiencia del método mismo.

[pic]

ANÁLISIS DEL PROBLEMA
a. Determine las variables que usará. Indique su significado y unidad de medición:|Variables |Significado |unidades |
|P |Longitud del perfil de la plancha |Pulgadas |
|T |Periodo |rad |
|L|Longitud de Onda |Pulgadas |
|m |Cantidad de franjas a usar en el método |n/a |

b. Determine el modelo matemático adecuado para el problema.
Nos dan la función de la longitud de cada onda[pic]. Donde f(x) =sen(x).
Derivando la función f obtendremos otranueva g(x) =cos(x).
Así la función con la que trabajaremos en la integral será:
[pic]

Y la función para la longitud final de cada plancha [pic]

DISEÑO
a. Elija el método numérico que usará e indique cual es la eficiencia
El método numérico a emplearse es mencionado en el enunciado del problema, el método de Simpson.
Primero tendremos que establecer las funciones con las quetrabajaremos en la resolución del problema.
b. Establezca la formulación matemática del método numérico elegido.
Regla de Simpson
[pic]
Ilustración de la regla de Simpson.
La función interpoladora puede ser un polinomio de grado 2 que pasa a través de los puntos [pic], [pic] y [pic]. Este método se llama Regla de Simpson:
[pic].

Derivación de la regla de Simpson
Consideramos el polinomiointer-polante de orden dos [pic], que aproxima a la función integrando [pic] entre los nodos x0 = a, x1 = b y m = (a+b)/2. La expresión de ese polinomio inter-polante, expresado a través de la Interpolación polinómica de Lagrange es:
[pic]
Error
El error al aproximar la integral mediante la Regla de Simpson es
[pic]
donde [pic] y [pic].

INSTRUMENTACIÓN
a. Defina la función y los comandos enMatlab necesarios.
[pic]

Otros Comandos:
[pic]

b. Obtenga los resultados con el computador.
>> syms x
>> h=sin(x);
>> g=diff(h)
g =
cos(x)
>> f=sqrt(1+g^2);
>> a=0;
>> b=2*pi;
>> L=simpson(inline(f),a,b,6)
L =
7.64513177946606
>> L=simpson(inline(f),a,b,8)
L =
7.65835785123018
>> L=simpson(inline(f),a,b,10)
L =
7.64045655781698
>> L=simpson(inline(f),a,b,12)
L=
7.63880638678019
>> L=simpson(inline(f),a,b,14)
L =
7.64039663492565
>> L=simpson(inline(f),a,b,16)
L =
7.64056481224086
>> L=simpson(inline(f),a,b,18)
L =
7.64039559910853
>> L=simpson(inline(f),a,b,20)
L =
7.64037524737532
>> P=8*L
P =
61.12300197900255

c. En el caso de raíces de ecuaciones, grafique la ecuación.
El ejercicio no requiere ningún graficoporque no busca ninguna raíz.

d. Verifique los resultados en el modelo.
Los resultados requerían una exactitud de 0.0001, y el método se desarrolló hasta obtener una concordancia de 4 decimales. Finalmente la longitud de cada plancha es de 61.1230 pulgadas.

[pic]

ANÁLISIS DEL PROBLEMA
a. Determine las variables que usará. Indique su significado y unidad de medición:
|Variables...