Analisis numerico

     |   Método de Euler Una de las técnicas más simples para aproximar soluciones de una ecuación diferencial es el método de Euler, o de las rectas tangentes. Suponga que se desea aproximar la solución del problema de valor inicial | (1.12) |

Observe en la figura 9 que la pendiente de la recta tangente a  la curva está dada por y es aproximadamente igual a la pendiente de la recta secante| (1.13) |

siempre y cuando sea pequeño. De aquí obtenemos que
Con lo cual podemos usar el punto para construir el siguiente punto y así sucesivamente. De esta forma generamos la sucesión de puntos:
los cuales es de esperar que se encuentren cercanos a los puntos
 Figura 9 Al sustituir el valor aproximado de la derivada 1.13 en la ecuación diferencial del problema de valor inicial 1.12obtenemos el método de Euler |

“METODO DE EULER MEJORADO”
 
 
En el método de Euler se tomó como válida para todo el intervalo la derivada encontrada en un extremo de éste Fig. . Para obtener una exactitud razonable se utiliza un intervalo muy pequeño, a cambio de un error de redondeo mayor (ya que se realizarán más cálculos).
El método de Euler modificado trata de evitar este problemautilizando un valor promedio de la derivada tomada en los dos extremos del intervalo. en lugar de la derivada tomada en un solo extremo.
 
 

 
EL METODO DE EULER MODIFICADO CONSTA DE DOS PASOS BASICOS:
 
1. Se parte de (xo,Yo) Y se utiliza el método de Euler a fin de calcular el valor de Y correspondiente a Xl' Este valor de Y se denotará aquí como YI' ya que sólo es un valor transitorio paraYl' Esta parte del proceso se conoce como paso predictor.
2. El segundo paso se llama corrector, pues trata de corregir la predicción. En el nuevo punto obtenido (XI, Yl) se evalúa la derivada [(xI' YI) usando la ecuación diferencial ordinaria del PVI que se esté resolviendo; se obtiene la media aritmética de esta derivada y la derivada en el punto inicial (xo' Yo)
 
 
1/2 [F(xo ,Yo) +F(Xl,YI)] = derivada promedio
 
Se usa la derivada promedio para calcular un nuevo valor de y1, con la ecuación y1=y0+hf(x0,y0), que deberá ser mas exacto que y1
 

 
y se tomara como valor definitivo de y1. Este procedimiento se repite hasta llegar a yn.
El esquema iterativo para este método quedara en general así:
Primero, usando el paso de predicción resulta:
 
.
Una vez obtenida yi+1 secalcula f(xi+1,yi+1), la derivada en el punto (xi+1,yi+1), y se promedia con la derivada previa (xi,yi) para encontrar la derivada promedio
 

Se sustituye f(xi,yi) con este valor promedio en la ecuación de iteración de euler y se obtiene:
 

 
 

Método de Runge Kutta
El método de Runge Kutta es un método numérico de resolución de ecuaciones diferenciales que surge como una mejora delmétodo de Euler. El método de Euler se puede considerar como un método de Runge Kutta de primer orden, el de Heun, es un método de Runge Kutta de orden dos.
Antes de presentar las ideas básicas de, se enuncia el teorema de Taylor en dos
variables.
Supongamos quef( t,y) y todas las derivadas parciales de orden menor o igual a
n+1 son continuas en el dominio:
D= ((t,y) / a<t<b ,c<y<d)
Sea (t0, yo) perteneciente a D. Para toda (t,y) perteneciente a D, existenε
entret yt0 yηentrey eyo con:
f(t,y)= Pn(t,y)+ Rn(t , y)
Donde

Pn se llama el polinomio de Taylor de grado n en dos variables para la funciónf
alrededor de (t0, y0), y Rn es el término de residuo asociado con Pn(t,y).
Como ejemplo se muestra el desarrollo del polinomio de Taylor de grado 3 para lafunción:
f(t,y) := sin(t⋅y)
alrededor de ( 0,π)

Evaluando cada una las derivadas parciales en (t0, yo)= (0,π) se reduceP3
(t,y)a:
*1……………..
Este polinomio dará una buena aproximación de sen(t.y) siempre y cuando t esté
cerca de cero e y esté cerca deπ.
Por ejemplo:
f( 0.01,π + 0.01) = 0.0315107096
Mientras que
P3( 0.01,π + 0.01) = 0.0315107588
El objetivo del método de...