Analisis Numerico

1.1. ECUACIONES DE SCHRÖDINGER APLICADAS AL ATOMO DE HIDROGENO
La ecuación de Schrödinger a un problema de una partícula en tres dimensiones dentro de un campo electrostático. En ese modelo el electrón queda descrito por una función de onda que satisface la ecuación de Schrödinger tridimensional, con un potencial de Coulomb que viene dado por:

Donde es la constante de Coulomb, es la cargaeléctrica del electrón y es la distancia al núcleo atómico, es la constante dieléctrica del vacío. Este potencial modeliza la interacción entre el protón y el electrón. Gracias a la existencia de la simetría esférica la resolución puede simplificarse usando coordenadas esféricas. En la sección anterior vimos que la ecuación de onda independiente del tiempo de una partícula sometida a unpotencial ) en tres dimensiones es:

Donde es la energía total del electrón. Escribiendo la ecuación de Schrödinger en coordenadas esféricas, el laplaciano se escribe como:

La justificación para utilizar éste laplaciano, aunque obviamente tiene una estructura más complicada que su igual de las coordenadas cartesianas, es que es la forma más práctica de realizar la separación de variables, estotambién es posible utilizando otro sistema de coordenadas, ahora nuestra ecuación queda escrita:

Esta es una ecuación en derivadas parciales usando la técnica de separación la convertimos en tres ecuaciones diferenciales ordinarias, pero se suele separar primero la parte radial de la angular, y eso quiere decir que la solución se reescribe como:



De modo que la ecuación queda:Reordenando términos se puede escribir como

Nótese que la parte izquierda de esta ecuación no depende de las variables de la parte derecha y viceversa, esto quiere decir que la única forma de satisfacer la igualdad es que ambas partes sean igual a una constante, para que la solución sea físicamente aceptable, la constante de separación debe ser de modo que se obtienen dos ecuaciones.
EcuaciónAngular
La primera es conocida en física como los armónicos esféricos y es

Y en efecto es la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas, la solución a esta ecuación es:

Con:

Y los los polinomios asociados de Legendre. Estos polinomios son finitos en 0 y como lo requiere la función de onda aceptable, la forma de construir los polinomios es entre otras, mediante la fórmula de Rodriguesque para estos polinomios es

evaluando después la en , la razón por la que la constante de separación se eligió como fue justamente para que la solución fueran estos polinomios, dado que además de ser una solución conocida a la ecuación, es físicamente aceptable, la otra constante aparece al aplicar el método de separación a la ecuación de los armónicos esféricos, si usted es losuficientemente curioso y eso espero, también notará que la ecuación para proporciona lógicamente, dos soluciones linealmente independientes, sin embargo la otra se descarta porque la densidad de probabilidad debe ser independiente de la coordenada ya que no debe existir una dirección preferencial para encontrar a electrón en el espacio, porque el espacio es isotrópico, la constante además, solo puede serun entero, y esto se debe a que no sería monovaluada en caso contrario, por otro lado también debe ser un entero, y positivo, para que la solución a la ecuación resultante para luego de la separación de variables sea aceptable, la fórmula de Rodríguez se puede además establecer una relación entre las constantes, puesto que si el polinomio correspondiente a las constantes dadas se anula y porconsiguiente toda la función de onda, en concreto:

Ecuación Radial
La otra ecuación es de suma importancia, ya que su solución depende de la forma específica del potencial, de hecho para cualquier potencial esféricamente simétrico la solución anterior es válida, y la solución a ésta parte de la ecuación de onda es característica de la forma específica del potencial electrostático, en efecto...