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Epistemología de la integral
El origen de la integral se dio muchos siglos atrás, en el intento de dar respuesta a interrogantes de problemas geométricos que fueron surgiendo; problemas relativos a la gravedad, el movimiento, etc. Arquímedes, quien fue un renombrado matemático griego en esa época, obtuvo resultados muy importantes que en la actualidad nos brindan herramientas parala realización de cálculos donde se aplica el integral como lo son: el valor del área encerrada por un segmento parabólico, la integral definida, a pesar de haber seguido caminos diferentes durante veinte siglos. Una vez conocida la conexión entre derivada e integral (teorema de Barrow), el cálculo de integrales definidas se hace tan sencillo como el de las derivadas.
El concepto de cálculo ysus ramificaciones se introdujo en el siglo xviii, con el gran desarrollo que obtuvo el análisis matemático, creando ramas como el cálculo diferencial, integral y de variaciones. El cálculo diferencial fue desarrollado por los trabajos de Fermat, Barrow, Wallis y newton entre otros. Así en 1711 newton introdujo la fórmula de interpolación de diferencias finitas de una función f(x); fórmulaextendida por Taylor al caso de infinitos términos bajo ciertas restricciones, utilizando de forma paralela el cálculo diferencial y el cálculo en diferencias finitas. El objetivo fundamental del cálculo diferencial era el desarrollo de funciones en series de potencias, especialmente a partir del teorema de Taylor, desarrollándose casi todas las funciones conocidas por los matemáticos de la época. Peropronto surgió el problema de la convergencia de la serie, que se resolvió en parte con la introducción de términos residuales, así como con la transformación de series en otras que fuesen convergentes. Junto a las series de potencias se incluyeron nuevos tipos de desarrollos de funciones, como son los desarrollos en series asintóticas introducidos por Stirling y Euler. La acumulación deresultados del cálculo diferencial transcurrió rápidamente, acumulando casi todos los resultados que caracterizan su estructura actual

Isaac newton en 1664 a 1666 y Gottfried w. Leibniz en 1675 descubrieron independientemente el cálculo diferencial e integral. Sus enfoques y conceptos son distintos, pero llegan básicamente a los mismos resultados, a un cálculo algo distinto del que usamos ahora. Hastaentonces en el periodo 1615-1660, se había usado el cálculo infinitesimal por grandes matemáticos como Kepler, Cavalieri, Torricelli, pascal, Fermat, Wallis, Gregory, Barrow, etc. Pero los métodos para hallar cuadraturas, y tangentes a curvas o problemas relacionados eran como una especie de matemática artesanal donde cada ejemplo resolvía un problema concreto, bien adaptado a la formaparticular de cada objeto en cuestión. Los ingredientes fundamentales del cálculo de Leibniz son las reglas para la manipulación de los símbolos r y d de la integral y la diferencial. Esto refleja sus ideas filosoficas de buscar un lenguaje simbólico y operacional para representar los conceptos e ideas del pensamiento de tal manera que los razonamientos y argumentos se puedan escribir por símbolos yformulas. En matemáticas su cálculo es en parte un algoritmo para escribir los métodos geométricos de cuadraturas y tangentes por medio de símbolos y formulas. Las otras dos ideas fundamentales del cálculo de Leibniz son la relación entre la sumas de sucesiones con las diferencias de sus términos consecutivos y el llamado triángulo característico.

El siglo xvii fue una época de avances hacia laformulación posterior del cálculo como el estudio de la variación, una época en la que se vio la necesidad de herramientas matemáticas que no tenían más fundamento que la geometría arquimediana para tratar con los problemas cotidianos; método cuya visión de rigor había obstaculizado trabajar más libremente con los infinitésimos, relacionados a la variación y al continuo.

La serie del binomio fue...