Analisis Numerico

Análisis de error
Tema 1: Problemas Matemáticos y su solución
Los problemas de esta disciplina se pueden dividir en dos grupos fundamentales:
* Problemas de dimensión finita: aquellos cuya respuesta son un conjunto finito de números, como las ecuaciones algebraicas, los determinantes, los problemas de valores propios, etc.
* Problemas de dimensión infinita: problemas en cuya solución oplanteamiento intervienen elementos descritos por una cantidad infinita de números, como integración y derivación numéricas, cálculo de ecuaciones diferenciales, interpolación, etc.
Asimismo, existe una subclasificación de estos dos grandes apartados en tres categorías de problemas, atendiendo a su naturaleza o motivación para el empleo del cálculo numérico:
Problemas de tal complejidad que noposeen solución analítica.
Problemas en los cuales existe una solución analítica, pero ésta, por complejidad u otros motivos, no puede explotarse de forma sencilla en la práctica.
 Problemas para los cuales existen métodos sencillos pero que, para elementos que se emplean en la práctica, requieren una cantidad de cálculos excesiva; mayor que la necesaria para un método numérico.

Un problemamatemático consiste en buscar una determinada entidad matemática de entre un conjunto de entidades del mismo tipo que además satisfaga las llamadas condiciones del problema. Algunos problemas clásicos como el de la cuadratura del círculo u otros donde se trata de decidir si una afirmación P es o no cierta, pueden reducirse a la forma de terna si tomamos como  el conjunto de demostraciones posiblesy c (x) como la condición de "X es una demostración válida de que la afirmación del problema P es cierta". Se dice que un problema no tiene solución cuando , es decir, 

* Problema geométrico elemental
Otros problemas consisten en encontrar un procedimiento geométrico para trazar un circunferencia, ángulo, polígono o recta que cumpla ciertas condiciones. Un problema muy sencillo es el defijados 3 puntos no alineados en el plano euclídeo, encontrar una circunferencia que pase por todos ellos. El problema matemático asociado podría ser denotado como, donde  es el conjunto de todos los círculos posibles del plano euclídeo. El problema anterior se resuelve si se toma el segmento  y se encuentra su recta mediatriz M1 y se toma el segmento  y se encuentra su recta mediatriz M2, elcentro O de la circunferencia buscada coincide con la intersección de las mediatrices y el radio de la circunferencia buscada con la longitud de los segmentos que unen el centro con cualquiera de los puntos:

Al conocer el centro de la circunferencia y su radio, queda totalmente determinada la solución al problema geométrico planteado.
* Problema de cálculo elemental
Un tipo muy frecuente deproblema matemático de cálculo elemental son los problemas de maximización o minimización. Por ejemplo, de todos los recipientes cilíndricos metálicos fabricados con chapa metálica encontrar el la relación entre la altura y el radio necesaria para que pueda contener un volumen V prefijado (por ejemplo V = 400 ml) usando la menor cantidad de chapa posible. Este es claramente un problema de minimizaciónpuesto que pretendemos usar la mínima cantidad de chapa. El problema matemático sería  donde,  es el conjunto teórico de todos los posibles recipientes cilíndricos metálicos de 400 ml de capacidad;  es el área del recipiente en función del radio  del mismo. La solución se presenta a continuación.
Llamemos S a la superficie total de chapa, que será directamente proporcional al peso del recipienteen vacío, llamemos al radio del recipiente R y a su altura H. Entonces tenemos que su superficie y su volumen vienen dados por:
 Y 

Si substituimos despejamos H de la primera ecuación y la substituimos en la segunda tenemos que la cantidad de chapa necesaria para construir un recipiente cilíndrico de volumen V y radio R viene dada por:

Para encontrar el mínimo podemos usar el cálculo...