Analisis Numericos Unidad 4

Instituto tecnológico de Saltillo


Unidad 4
4.1 Interpolación: lineal y cuadrática
4.2 Aproximación polinomial y multilineal: diferencias divididas de Newton y Lagrange
4.3 Ajuste por interpolación segmentaria. Regresión por minimos cuadrados: lineal y cuadrática.
4.4aplicaciones a la ingeniería

Análisis numérico
Ing. María Isabel Piña
Karla Alejandra Gámez Cortés

A 20 deoctubre de 2014
Bibliografía
https://sites.google.com/site/numerictron/unidad-4/4-1-interpolacion-lineal-y-cuadratica
http://calculo.cc/temas/temas_bachillerato/primero_ciencias_sociales/funciones_elementales/teoria/interpolacion_lineal.html






















Ejemplo de interpolación lineal
Determinar la función lineal de interpolación que pasa por los puntos (-1,0),(4,2).
Interpola el valor a=1 y extrapola el valor b=5.
Tenemos los puntos:
P(x₀,y₀)= (-1,0)
Q(x₁,y₁)= (4,2)
Obtenemos la función de interpolación lineal:


Interpolando a = 1 obtenemos: f (1) = 2/5 + 2/5 = 4/5
Extrapolando b = 5 obtenemos: f (5) = 2+ 2/5 = 12/5






Interpolación cuadrática
Cuando el polinomio que conviene es de 2° grado la interpolación recibe el nombre decuadrática. El polinomio interpolador es único, luego como se encuentre da igual., sin embargo, a veces los cálculos son muy laboriosos y es preferible utilizar un método que otro. A la vista de los datos se decide.
En el ejemplo 1 se da el método de resolver el sistema para encontrar los valores que determinan a la función cuadrática (a, b y c)
También podemos utilizar la expresión del polinomiointerpolador así: y= a + b(x-x₀) + c(x-x₀) (x-x₁), con lo que la búsqueda de los coeficientes es muy sencilla.
LaGrange (1736-1813) dio una manera simplificada de calcular los polinomios interpoladores de grado n para el caso de un polinomio de 2° grado que pasa por los puntos (x₀, y₀), (x₁,y₁), (x₂,y₂):
  
Que es la fórmula de LaGrange para n=2.
Con frecuencia se tienen que estimar valoresintermedios entre valores conocidos. El método más común empleado para este propósito es la interpolación polinomial.
Recuérdese que la fórmula general de un polinomio de n-ésimo orden es:
   
Para n + 1 puntos, existe uno y solo un polinomio de n-ésimo orden menor que pasa a través de todos los puntos. Por ejemplo, hay solo una línea recta (es decir un polinomio de primer orden) que conecta dospuntos. El polinomio de interpolación consiste en determinar el único polinomio de n-ésimo orden que se ajusta a los n + 1 puntos dados. Este polinomio proporciona una fórmula para calcular los valores intermedios.
Aunque existe uno y solo un polinomio de n-ésimo orden que se ajusta a los n + 1 puntos, existen una gran variedad de fórmulas matemáticas mediante las cuales se puede expresar estepolinomio. En esta unidad se estudian dos técnicas alternativas que están bien condicionadas para implementarse en una computadora. Estos son los polinomios de Newton y de LaGrange.
Ejemplo de interpolación cuadrática
Determinar la función cuadrática de interpolación que pasa por los puntos (0, -3), (1, 0), (3, 0).


Interpola el valor  a = 2  y extrapola el valor  b = -1.

Tenemos los puntos:      (x0 , y0) = (0, -3)


      (x1, y1) = (1, 0)


      (x2, y2) = (3, 0)


Resolvemos el sistema de ecuaciones:


      











Luego la función de interpolación es:


            y = - x2 + 4x - 3


Interpolando a = 2 obtenemos:     y = - 22 + 4·2 - 3 = 1


Extrapolando b = - 1 obtenemos:     y = - (-1)2 + 4·(-1) - 3 = - 8


Aproximaciónpolinomial y multilineal: diferencias divididas de newton y LaGrange

Una sucesión (o progresión): es la lista de números en un orden especifico.
Por ejemplo:
2, 4, 6, 8, 10
Forman una sucesión. Esta sucesión se denomina finita por que tiene un último número. Si un conjunto de números que forman una sucesión no tiene ultimo número, se dice que la sucesión es infinita. Por ejemplo:

En una...