Analisis real

Cap´ ıtulo 3. Conjuntos infinitos y cardinales
Lecci´n 2. Conjuntos contables o
Son aquellos conjuntos con a lo m´s tantos elementos como el conjunto de los a n´meros naturales; nos proponemos demostrar que el conjunto de los n´meros u u racionales (a´n cuando para algunos lectores sea dif´ de creer) es contable. u ıcil 3.17 Definici´n Diremos que un conjunto es contable si y s´lo si es domio onado por el de los n´meros naturales, es decir, A es contable si y s´lo si A N u o . 3.18 Definici´n o Un conjunto se llamar´ numerable si y s´lo si es equia o potente con N . Seg´n el ejercicio 9 de la secci´n 1, A es contable si y s´lo u o o si (A ≺ N )(A ≈ N ), o sea si y s´lo si A es finito o numerable. o N´tese entonces que si un conjunto es contable y no es finito, deber´ ser o a numerable; comousaremos con frecuencia este hecho, lo destacaremos: Un conjunto contable e infinito es numerable. 3.19 Proposici´n o

a) Todo conjunto equipotente con uno contable es contable. b) Todo conjunto equipotente con uno numerable es tambi´n numerable. e o c) Entre dos conjuntos numerables, siempre existe al menos una biyecci´n del uno en el otro. o d) Si A es contable y B es numerable, entoncesexiste al menos una inyecci´n de A en B. Demostraci´n Las partes b) y c) son consecuencias inmediatas de la simetr´ y o ıa la transitividad de la equipotencia y las a) y d) se siguen de la proposici´n 3. o 3.20 Proposici´n Todo subconjunto infinito de un conjunto numerable es o numerable. Demostraci´n Es pr´cticamente igual a la del ejercicio 5 de la o a secci´n 1 anterior y no la haremos para que ellector ponga algo de su parte. o

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3.21 Proposici´n Todo subconjunto de un conjunto contable es contable. o Demostraci´n Como A ⊆ B → A o B, es una consecuencia inmediata de la transitividad de la dominaci´n. Trivialmente N y N ∗ son numerables; tambi´n o e lo son seg´n la Proposici´n 3.21, el conjunto de los naturales pares {0, 2, 4, 5, · · · } u o y el de los impares {1, 3, 5, 7, · · · }.M´s interesante es ver que Z tambi´n es a e numerable; la funci´n definida mediante el diagrama siguiente es una biyecci´n. o o {. . . , −5, ↓ {. . . , 9, −4, ↓ 7, −3, ↓ 5, −2, ↓ 3, −1, ↓ 1, 0, ↓ 0, 1, ↓ 2, 2, ↓ 4, 3, ↓ 6, 4, . . . } = Z ↓ 8, . . . } = N

Para el lector que crea que las funciones solo se definen por “f´rmulas”, la o anterior funci´n f : Z → N se puede determinar as´ o ı: f (n) = 2nsi n ≥ 0 (f : Z → N ) = −2n − 1 si n < 0 Es decir que f1 : Enteros no negativos → Naturales Pares, con f1 (n) = 2n y f2 : Enteros negativos → Impares, con f2 (n) = −2n − 1, son biyecciones con dominios y codominios disyuntos de modo que su uni´n o f = f1 ∪ f2 es tambi´n una biyecci´n. Nuevamente la proposici´n 3.19 pone e o o de presente que los conjuntos {2n | n ∈ Z} y {2n + 1 | n ∈ Z} de enterospares e impares respectivamente, son numerables, lo mismo que Z ∗ = Z − {0}. Vayamos hacia la numerabilidad de conjuntos mayores. 3.22 Teorema N ×N es numerable. Demostraci´n [Primera Demostraci´n:] o o

Como la funci´n N → N × N definida mediante n → (n, 0) es trivialmente o inyectiva, entonces N (N × N ); si logramos probar que (N × N ) N, el teorema de Cantor-Bernstein nos permite concluirinmediatamente que N ≈ N ×N . Para obtener (N ×N ) N , es suficiente hallar una funci´n f : N ×N → o N inyectiva. Una manera de hacerlo es tomar dos naturales mayores que 1 que sean primos relativos, por ejemplo 2 y 3 y definir f en la forma f (m, n) = 2m ·3n ; es f´cil probar que f es inyectiva; si f (m, n) = f (p, q), 2m · 3n = 2p · 3q , pero 2m a divide a 2m 3n , luego 2m divide a 2p 3q y siendo 2primo con 3, 2m divide a 2p , de modo que m ≤ p. Intercambiando los papeles en el argumento anterior, m = p y utilizando la propiedad cancelativa del producto en la igualdad inicial se deduce o o 3n = 3q , luego n = q y (m, n) = (p, q). Demostraci´n [Segunda demostraci´n] Que un conjunto sea numerable significa que podemos disponer sus elementos en

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sucesi´n infinita sin repeticiones de...