Analisis Real

Lima, Elon Lages
An´
alisis Real, Volumen 1.
Instituto de Matem´
atica y Ciencias Afines, UNI, 1997.
240pp. (Colecci´
on Textos del IMCA)

Textos del IMCA

An´
alisis Real
Volumen 1

Elon Lages Lima

Traducido por Rodrigo Vargas

IMCA Instituto de Matem´
atica y Ciencias Afines

Copyright c , 1997 by Elon Lages Lima
Impreso en Chile / Printed in Chile
Car´atula: Rodolfo Capeto y Noni GeigerTextos del IMCA

Editor: C´esar Camacho

Con esta serie de textos el IMCA inicia sus trabajos contribuyendo a la difuci´on de la cultura matem´atica por medio de una
literatura de alta calidad cient´ıfica.
Esta colecci´on busca poner a disposici´on de alumnos y profesores universitarios, libros escritos con rigor y claridad, que sirvan
como textos de cursos de graduaci´on.
La publicaci´on de estelibro cont´o con el apoyo decidido de la
Sociedad Brasileira de Matem´
atica y de la Universidad Nacional de
Ingenier´ıa del Per´
u que compartieron su costo. A estas instituciones damos nuestro agradecimiento.

El Editor

Prefacio
Este libro pretende servir de texto para un primer curso de An´alisis Matem´atico. Los temas tratados se exponen de manera simple
y directa, evitando digresiones. As´ıespero facilitar el trabajo del
profesor que, al adoptarlo, no necesitar´a perder mucho tiempo seleccionando los temas que tratar´a y los que omitir´a. Grupos especiales, estudiantes avanzados, lectores que deseen una presentaci´on
m´as completa y los alumnos, por as´ı decirlo, normales que busquen
lecturas complementarias pueden consultar el “Curso de An´alisis
Matem´atico, vol. 1”que trata de lamisma materia con un enfoque
m´as amplio, y que tiene aproximadamente el doble de tama˜
no.
Los lectores que tengo en mente son alumnos con conocimientos
equivalentes a dos per´ıodos lectivos de C´alculo* , ya familiarizados
con las ideas de derivada e integral en sus aspectos m´as elementales, principalmente los c´alculos con las funciones m´as conocidas
y la resoluci´on de ejercicios sencillos.Tambi´en espero que tengan
una idea suficientemente clara de lo que es una demostraci´on matem´atica. La lista de prerrequisitos termina diciendo que el lector
debe estar habituado a las notaciones usuales de la teor´ıa de conjuntos, tales como x ∈ A, A ⊂ B, A ∪ B, A ∩ B, etc.
Una parte importante de este libro son sus ejercicios, que sirven
para fijar ideas, desarrollar algunos temas esbozadosen el texto y
como oporunidad para que el lector compruebe si realmente ha entendido lo que acab´o de leer. En el cap´ıtulo final se presentan las
soluciones, de forma completa o resumida, de 190 ejercicios seleccionados. Los restantes son, en mi opini´on, bastante f´aciles. Naturalmente, me gustar´ıa que el lector s´olo consultase las soluciones
despu´es de haber hecho un serio esfuerzo pararesolver cada pro*

N.T. dos cuatrimestres

blema. Precisamente es este esfuerzo, con o sin ´exito, el que nos
conduce a buenos resultados en el proceso de aprendizaje.
El procesamiento del manuscrito, por el sistema TEX, lo realizaron Mar´ıa Celano Maia y Solange Villar Visgueiro, supervisadas por Jonas de Miranda Gomes, al que debo bastantes consejos y
opiniones sensatas durante la preparaci´on dellibro. La revisi´on del
texto original en portugu´es la hicieron Levi Lopes de Lima, Ricardo Galdo Camelier y Rui Tojeiro. A todas estas personas debo mis
agradecimientos cordiales.
La publicaci´on de la edici´on original brasile˜
na fue financiada por
la CAPES; con su director, profesor Jos´e Ubirajara Alves, estoy en
deuda por el apoyo y la compresi´on demostrados.
Rio de Janeiro

Elon LagesLima

Prefacio a la edici´
on en espa˜
nol
La iniciativa de editar este libro en espa˜
nol se debe al Profesor
C´esar Camacho que, con su empe˜
no caracter´ıstico, tuvo la idea,
superviso la traducci´on, cuid´o de la impresi´on y asegur´o la publicaci´on. Es a ´el, por lo tanto, que tengo la satisfaci´on de manifestar
mis agradecimientos.
Tambi´en estoy agradecido a Lorenzo Diaz Casado, que hizo...