analisis_real
Páginas: 145 (36083 palabras)
Publicado: 26 de octubre de 2015
An´
alisis Real: Primer Curso
Ricardo A. S´aenz
´Indice general
Introducci´on
Cap´ıtulo 1.
§1.
§2.
§3.
v
Espacios M´etricos
M´etricas
1
M´etricas en espacios vectoriales
4
Topolog´ıa
9
Ejercicios
Cap´ıtulo 2.
§1.
§2.
§3.
§4.
§5.
16
Sucesiones y convergencia
21
Sucesiones de Cauchy y completitud
25
Espacios vectoriales completos
29
Convergencia de series
35
Lacompletitud de un espacio m´etrico
37
Cap´ıtulo 3.
§2.
§3.
§4.
40
Espacios compactos
43
Cubiertas
43
Compacidad
45
El teorema de Bolzano-Weierstrass
48
Compacidad en espacios de Banach
52
Ejercicios
Cap´ıtulo 4.
§1.
21
Definiciones
Ejercicios
§1.
1
56
El espacio de funciones continuas
Funciones continuas
57
57
iii
´Indice general
iv
§2.
§3.
§4.
El espacio C(X, Y )
65
Elteorema de Arzel`a-Ascoli
69
El teorema de Stone-Weierstrass
76
Ejercicios
Cap´ıtulo 5.
§1.
§2.
§3.
84
Espacios conexos
Conexidad
87
Conexidad por trayectorias
89
Componentes conexas
92
Ejercicios
Cap´ıtulo 6.
§1.
§2.
§3.
87
93
Espacios completos
95
El teorema de Cantor
95
El teorema de Baire
98
Consecuencias del teorema de Baire
Ejercicios
Cap´ıtulo 7.
100
106
Ecuacionesdiferenciales ordinarias
107
§1.
Problema de Valor Inicial
107
El teorema de contracci´on
108
§3.
Existencia y unicidad de soluciones
109
§2.
Ejercicios
112
Bibliograf´ıa
113
Introducci´
on
Estas notas presentan una introducci´on b´asica al an´alisis real, basada
en el estudio de espacios m´etricos y aplicaciones. En particular, hacemos un
estudio extenso de la idea de completitud enun espacio m´etrico.
Dos conceptos fundamentales son la base de este estudio: m´etrica y completitud. Una m´etrica es una funci´on que establece distancias entre los objetos de un espacio. Las propiedades que definen una m´etrica son aqu´ellas
que uno espera de una distancia: positividad, simetr´ıa, y la desigualdad del
tri´angulo, la cual garantiza que la distancia entre dos puntos es menor quela suma de las distancias de ´estos a otro punto en com´
un.
Por medio de una m´etrica uno puede medir la “cercan´ıa” dentro un
espacio desde el punto de vista anal´ıtico, es decir, establecer cu´ales son las
sucesiones convergentes. Esto nos lleva de manera natural a continuidad y
al estudio de la topolog´ıa de un espacio.
Completitud es la propiedad que garantiza que las sucesiones cuyost´erminos se acercan entre s´ı son convergentes. En t´erminos generales esto
significa que nuestro espacio no tiene “agujeros”.
En el cap´ıtulo 1 se define el concepto de m´etrica, y se estudia de manera
b´asica la topolog´ıa inducida por un m´etrica. De manera un tanto m´as detallada se estudian m´etricas inducidas por normas (magnitudes de vectores) o
por productos internos.
En el cap´ıtulo 2 se estudiala convergencia de una sucesi´on, y se introduce
la idea de completitud. Tmabi´en se estudian algunas aplicaciones de estas
ideas a espacios vectoriales normados, como la convergencia de series, ya sea
de manera absoluta o condicional. Se demuestra, por ejemplo, el teorema de
v
Introducci´on
vi
Dirichlet. Al final, demostramos que si un espacio m´etrico no es completo,
entonces puede serencajado un espacio m´etrico completo.
La idea de compacidad fue descubierta por Heine en su estudio de funciones uniformemente continuas. Compacidad tambi´en garantiza la existencia de m´aximos y m´ınimos de una funci´on continua, por lo que su estudio
es b´asico en an´alisis. En el cap´ıtulo 3 estudiamos estos conceptos en detalle, y demostraremos el teorema de Bolzano-Weierstrass, el cualclasifica
a los conjuntos compactos en t´erminos de sucesiones convergentes. Tambi´en
demostramos el teorema de Heine-Borel, el cual implica, por ejemplo, que
bolas cerradas en el espacio euclideano son compactas. Sin embargo, tal cosa
no es cierta en espacios de dimensi´on infinita, como se establece al final del
cap´ıtulo.
La colecci´on de funcionas continuas acotadas en un espacio m´etrico forma en...
alisis Real: Primer Curso
Ricardo A. S´aenz
´Indice general
Introducci´on
Cap´ıtulo 1.
§1.
§2.
§3.
v
Espacios M´etricos
M´etricas
1
M´etricas en espacios vectoriales
4
Topolog´ıa
9
Ejercicios
Cap´ıtulo 2.
§1.
§2.
§3.
§4.
§5.
16
Sucesiones y convergencia
21
Sucesiones de Cauchy y completitud
25
Espacios vectoriales completos
29
Convergencia de series
35
Lacompletitud de un espacio m´etrico
37
Cap´ıtulo 3.
§2.
§3.
§4.
40
Espacios compactos
43
Cubiertas
43
Compacidad
45
El teorema de Bolzano-Weierstrass
48
Compacidad en espacios de Banach
52
Ejercicios
Cap´ıtulo 4.
§1.
21
Definiciones
Ejercicios
§1.
1
56
El espacio de funciones continuas
Funciones continuas
57
57
iii
´Indice general
iv
§2.
§3.
§4.
El espacio C(X, Y )
65
Elteorema de Arzel`a-Ascoli
69
El teorema de Stone-Weierstrass
76
Ejercicios
Cap´ıtulo 5.
§1.
§2.
§3.
84
Espacios conexos
Conexidad
87
Conexidad por trayectorias
89
Componentes conexas
92
Ejercicios
Cap´ıtulo 6.
§1.
§2.
§3.
87
93
Espacios completos
95
El teorema de Cantor
95
El teorema de Baire
98
Consecuencias del teorema de Baire
Ejercicios
Cap´ıtulo 7.
100
106
Ecuacionesdiferenciales ordinarias
107
§1.
Problema de Valor Inicial
107
El teorema de contracci´on
108
§3.
Existencia y unicidad de soluciones
109
§2.
Ejercicios
112
Bibliograf´ıa
113
Introducci´
on
Estas notas presentan una introducci´on b´asica al an´alisis real, basada
en el estudio de espacios m´etricos y aplicaciones. En particular, hacemos un
estudio extenso de la idea de completitud enun espacio m´etrico.
Dos conceptos fundamentales son la base de este estudio: m´etrica y completitud. Una m´etrica es una funci´on que establece distancias entre los objetos de un espacio. Las propiedades que definen una m´etrica son aqu´ellas
que uno espera de una distancia: positividad, simetr´ıa, y la desigualdad del
tri´angulo, la cual garantiza que la distancia entre dos puntos es menor quela suma de las distancias de ´estos a otro punto en com´
un.
Por medio de una m´etrica uno puede medir la “cercan´ıa” dentro un
espacio desde el punto de vista anal´ıtico, es decir, establecer cu´ales son las
sucesiones convergentes. Esto nos lleva de manera natural a continuidad y
al estudio de la topolog´ıa de un espacio.
Completitud es la propiedad que garantiza que las sucesiones cuyost´erminos se acercan entre s´ı son convergentes. En t´erminos generales esto
significa que nuestro espacio no tiene “agujeros”.
En el cap´ıtulo 1 se define el concepto de m´etrica, y se estudia de manera
b´asica la topolog´ıa inducida por un m´etrica. De manera un tanto m´as detallada se estudian m´etricas inducidas por normas (magnitudes de vectores) o
por productos internos.
En el cap´ıtulo 2 se estudiala convergencia de una sucesi´on, y se introduce
la idea de completitud. Tmabi´en se estudian algunas aplicaciones de estas
ideas a espacios vectoriales normados, como la convergencia de series, ya sea
de manera absoluta o condicional. Se demuestra, por ejemplo, el teorema de
v
Introducci´on
vi
Dirichlet. Al final, demostramos que si un espacio m´etrico no es completo,
entonces puede serencajado un espacio m´etrico completo.
La idea de compacidad fue descubierta por Heine en su estudio de funciones uniformemente continuas. Compacidad tambi´en garantiza la existencia de m´aximos y m´ınimos de una funci´on continua, por lo que su estudio
es b´asico en an´alisis. En el cap´ıtulo 3 estudiamos estos conceptos en detalle, y demostraremos el teorema de Bolzano-Weierstrass, el cualclasifica
a los conjuntos compactos en t´erminos de sucesiones convergentes. Tambi´en
demostramos el teorema de Heine-Borel, el cual implica, por ejemplo, que
bolas cerradas en el espacio euclideano son compactas. Sin embargo, tal cosa
no es cierta en espacios de dimensi´on infinita, como se establece al final del
cap´ıtulo.
La colecci´on de funcionas continuas acotadas en un espacio m´etrico forma en...
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