ANALISIS RELATIVISTA

Análisis Relativista de la Ecuación de Schrödinger
Rodolfo Hector CARABIO

ECUACION DE ONDA RELATIVISTA
Teniendo la dinámica relativista y la ecuación de Schrödinger, se esta a un paso de la formulación
de una ley física amplia y exacta. La dinámica relativista es exacta para todo valor de la velocidad,
pero nada dice acerca del comportamiento ondulatorio de las partículas, la ecuación deSchrödinger, que describe las propiedades ondulatorias de las partículas esta formulada en base a
la dinámica clásica, son campos separados por completo.
Es posible estudiar la ecuación no relativista de Schrödinger a fin de hacerla invariante relativista,
para lo cual se procede a plantear dicha ecuación en su forma independiente del tiempo para
sistemas de referencia en movimiento relativo entre si, talcomo en el esquema que sigue:

U'

Y’

vY '

vC

X’

U
Y

vY

vC
X
Se muestra una partícula libre y su comportamiento ante una barrera de potencial visto desde dos
sistemas de referencia en movimiento relativo. En realidad se estaría representando el vector de
onda de la partícula o un flujo de partículas, una onda plana libre de la acción de campos de fuerza
hasta el límite de la barrera depotencial rectangular, esta representación es perfectamente valida
en el formalismo matemático de la mecánica ondulatoria y también lo es con respecto a las
propiedades experimentales de las partículas.
Esta barrera de potencial esta dispuesta de forma horizontal a fin de que su espacio de acción sea
el mismo medido para los dos sistemas de referencia, en el interior de la barrera de potencial el

1campo de energía potencial puede variar si sus líneas equipotenciales son paralelas y horizontales
a fin de que ambos sistemas de referencia las relacionen de forma sencilla entre ellos.
Esta claro que la probabilidad de que la partícula atraviese la barrera es la misma medida para
ambos sistemas de referencia, ya que ven un mismo suceso físico, por tanto la variación de la
función de onda a lolargo del eje Y debe ser la misma medida según dichos sistemas de referencia
Si consideramos que la componente de la velocidad en el eje Y es mucho menor que la
componente horizontal, en el sistema de referencia en movimiento (X’Y’) dicha componente
representa la velocidad total de la partícula, y es allí donde teniendo en cuenta que:

vY ' << c
Puede emplearse la ecuación de onda no relativistapara describir el comportamiento de la partícula
en el sistema de referencia X’Y’. Dado que alli es una onda libre la ecuación se puede escribir
directamente con la función impulso tal como sigue:

d ²Ψ' pY '²
2m
+
.Ψ'− U ' ( y' ).Ψ' = 0
h²
h²
dy'²
Es necesario establecer la relación entre los campos de potencial que miden ambos sistemas de
referencia, para hacerlo nombramos una velocidadtransversal vy tal que es la velocidad mínima para
que la partícula sortee la barrera de potencial, eso es suficiente para determinar la magnitud de la
altura de la barrera medida en ambos sistemas de referencia



1
− 1
U ' = mc²
 1 − v '² / c² 
Y




1
1

U = mc²
−
 1 − v² / c²

1
−
v
²
/
c
²
C


La relación entre la velocidad transversal medida en ambos sistemas de referencia es:

vY = vY' 1 − vC ² / c ²
v = vC ² + vY ²
v = vC ² + vY '²(1 − vC ² / c ²)



1
1

U = mc²
−
 1 − [v ² + v '²(1 − v ² / c ²)] / c ²

1
−
v
²
/
c
²
C
Y
C
C






1
1


−
U = mc²

1 − vC ² / c ² 
vC ² vY '² vY '²vC ²
−
+
 1−

c²
c²
c²




1
1

U = mc²
−
 1 − v ² / c² 1 − v '² / c²
1 − vC ² / c² 
C
Y


2

U=



mc²
1

− 1
1 − vC ² / c ²  1 − vY '² / c ² 

De acuerdo alanterior valor de U’, podemos escribir la relación:

U=

U'
1 − vC ² / c²

La ecuación para el sistema de referencia X’Y’ puede escribirse:

d ² Ψ ' pY '²
2m
+
Ψ '−
U ( y ) 1 − vC ² / c ² .Ψ ' = 0
dy '²
h²
h²
Si el impulso medido transversal en el sistema de referencia X’Y’ es py’, el sistema de referencia en
reposo medirá dicho impulso transversal como py tal que:

pY = pY '
(Es sabido y se...