Analisis tensorial y geometria de rieman

An´lisis tensorial y geometr´ de Riemann a ıa
Nelson Merino Moncada Alfredo P´rez Donoso e December 19, 2003
Abstract El objetivo que motiva a trabajar con el c´lculo tensorial es conseguir a que la f´ ısica sea independiente del sistema coordenado usado para su descripci´n. En otras palabras, se requiere que bajo una transformaci´n de o o coordenadas, las ecuaciones que expresan las leyes dela f´ ısica permanez´ a can invariantes. El c´lculo tensorial nos permitir´ estudiar la geometr´ a ıa de alg´n espacio, en particular la geometr´ de Riemann. u ıa

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Introducci´n o

Un espacio euclidiano se caracteriza por el hecho que admite sistemas coordenados cartesianos que lo cubren completamente. Sin embargo, existen espacios a de naturaleza m´s general, tal como una superficiecurvada, la cual no permite la existencia de un unico sistema coordenado que la cubra completamente. ´ Iniciamos nuestro estudio generalizando el concepto primitivo de vector, debido al siguiente hecho: Algunas cantidades f´ ısicas como la velocidad y la fuerza son representadas indistintamente como vectores. Sin embargo, bajo una transformaci´n de coo ordenadas, sus componentes transforman de acuerdo aleyes distintas. Por lo tanto, la velocidad y la fuerza son entes de distinto car´cter. Esto nos llevar´ a a a introducir el concepto de vector contravariante y de vector covariante. Luego, se presentan algunas cantidades que para su especificaci´n requieren o m´s de un ´ a ındice, como por ejemplo la multiplicaci´n de las componentes de o dos vectores (covariantes o contravariantes). Esto motiva adefinir el concepto general de tensor como un objeto cuyas componentes transforman seg´n una u determinada ley de transformaci´n. Al introducir los conceptos de conexi´n o o y m´trica, podremos hacer un estudio de las propiedades geom´tricas de un e e espacio dado. En particular, nos concentraremos en aquellos espacios que poseen una geometr´ de Riemann, como por ejemplos las superficies inmersasen el ıa espacio euclidiano tridimensional.

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Variedades diferenciables

Definici´n: Una variedad diferenciable n-dimensional es un conjunto continuo o de puntos M, cubierto completamente por un conjunto contable de vecindades 1

abiertas U1 , ..., Un sobre los cuales pueden ser definidos sistemas coordenados, tales que en las intersecciones de dichas vecindades, sus correspondientessistemas est´n relacionados unos a otros por transformaciones de coordenadas a diferenciables. Una variedad puede ser concebida r´sticamente como un espacio de diu mensi´n n, an´loga a una superficie n-dimensional. En general, ella no puede ser o a cubierta completamente por un solo sistema coordenado. Curvas y superficies en el espacio eucl´ ıdeo tridimensional En representan ejemplos de variedades.Figure 1:

Como se ve en la figura 1, sobre cada Ui est´ definido un sistema coordea nado de modo que a cada punto P ∈ Ui es posible asignar un´ ıvocamente un conjunto ordenado de n´meros (x1 , ..., xn ) llamados coordenadas de P . Este u mapeo uno a uno debe ser continuo, de modo que, cuando P se mueve en Ui , la correspondiente n-upla (x1 , ..., xn ) se mueve en un dominio D contenido en En .Consideremos la figura 2. El conjunto M es una variedad diferenciable si admite una construcci´n de modo tal que para todo punto P en la intersecci´n o o de dos abiertos, U1 , U2 ⊆ M , los correspondientes sistemas est´n relacionados a por transformaciones de coordenadas diferenciables: xj = xj (xi ), ¯ ¯ x = x (¯ ). x Recordemos que: ∂ xj ∂xi ¯ ∂xi ∂ xj ¯ j i = δk y = δl , ∂ xj ∂xk ¯ ∂xi ∂ xl ¯ 2(2)
i i j

(1)

Figure 2:

=⇒

x ¯ ∂(x1 , ..., xn ) ∂(¯1 , ..., xn ) = 1. 1 , ..., xn ) ∂(x1 , ..., xn ) ∂(¯ x ¯

(3)

Luego, el jacobiano de la transformaci´n (1) no se anula sobre U1 ∩ U2 . o

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Escalares, vectores y tensores

Presentaremos ahora ciertas entidades matem´ticas que pueden ser asociadas a sobre una variedad. El caso m´s simple es una propiedad expresada por...